Статья: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.

4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.

5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.

2. Ортогонализация последовательности полиномов

Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:

(2.1)

g№0. Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида , и . Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают следующие формулы:

,

где  =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.

3. Канонический базис

Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:

где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.

Вектор-столбец бесконечной высоты с координатами:

, , , где ,

(3.1)

для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].

Ортонормированному базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу , столбцы которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица - это нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] известно, чторазложима в произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично изометричен в l2, второй  - диагонален с положительной возрастающей последовательностью диагональных элементов {j}, а третий  - изометричен в l2, т.е.

Учитывая параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис удобно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:

(3.2)

где

(3.3)

Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.

4. Приближенное интегрирование гармонических функций