Статья: «Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи
Комментарий. Затронутый в задаче вопрос равносилен вопросу о представлении натурального числа n ≤ 30 в виде суммы не более пяти различных натуральных чисел из набора m1, ..., m5 , не превосходящих n:
n = a1 · m1 + a2 · m2 + a3 · m3 + a4 · m4 + a5 · m5 ,
где каждый из множителей a1, ..., a5 равен 1 или 0 (гиря либо кладется на чашку весов, либо нет). Но тогда естественно перейти к двоичной системе счисления:
n = a5 · 24 + a4 · 23 + a3 · 22 + a2 · 21 + a1 · 20.
Таким образом, в набор должны входить гири, массы которых выражаются числами 1, 2, 4, 8 и 16.
Хотя данную задачу часто связывают с именем французского математика и поэта Баше де Мезириака*, она встречается еще у Фибоначчи. Вероятно, и тот не сам ее придумал. А настоящим автором этой до недавнего времени актуальной практической задачи мог быть какой-нибудь сметливый торговец, которому частенько приходилось взвешивать свой товар.
* Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581...1638) известен, в частности, как автор книг по занимательной математике. В одной из них и приведена задача об оптимальной системе гирь.
В «Liber abaci» содержался также более сложный вариант рассмотренной задачи. В нем разрешается класть гири на обе чашки весов, а значит, надо будет думать не только о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел ai может принимать три различных значения (гиря добавляется либо на свободную чашку весов, либо на чашку с грузом или вообще не используется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачу для n ≤ 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц.
Оба варианта задачи интересны еще и тем, что найденные числа являются членами геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задаче 4, можно прийти, рассматривая неравенство
30 ≤ 1 + 2 + 22 + ... + 2m–1, или 30 ≤ 2m – 1.
Его наименьшее натуральное решение m = 5.
Задача 5. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько денег у каждого?
Ответ: 7 2/17 и 9 14/17 денариев.
Комментарий. Обозначив буквами x и y количество денег, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему
из которой найдем x = 7 2/17 и y = 9 14/17. Такой способ решения напрашивается сам собой, поскольку в задаче говорится о двух неизвестных.
А вот Леонардо Пизанский в своих рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав ее по давно укоренившейся среди математиков традиции «вещью». Приняв имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x – 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению
x + 12 = 7 (5x – 12).
Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачи и с бóльшим числом людей.
Задача 6. 30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев – по монете. Сколько птиц каждого вида?
Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.
Комментарий. Из-за большого количества неизвестных данную задачу вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить буквами x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений
Исключив z и выразив затем x через y, получим x = 6 – 3/5 y. Единственное возможное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22.
Интересно, что данную задачу автор «Liber abaci» рассматривал как задачу на сплав достоинства 1, который должен получиться из трех целочисленных количеств достоинством 3, 2 и 1/2. Эта же задача, но с чуть измененными числовыми данными (стоимость птиц разного вида выражается обратными числами: 1/3, 1/2 и 2) разбиралась еще в одном сочинении Леонардо.
Задача 7. Решить систему уравнений
Ответ: (15 – 5√5; 5√5 – 5).
Комментарий. На самом деле данная система является симметричной и имеет ни одно, как указал Фибоначчи, а два решения; второе – (5√5 – 5; 15 – 5√5).