Статья: Метод бесконечного спуска
Метод спуска в задачах
Задача 1. Доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения
8x4 + 4y4 + 2z4 = t4.
Решение. Допустим, что решения есть, и x = m, y = n, z = p, t = r — решение с наименьшим возможным x. Из уравнения видно, что r — чётное число, r = 2r1.
Подставляя это решение в уравнение и деля на 2, получаем
4m4 + 2n4 + p4 = 8r14.
Теперь ясно, что p — чётное, p = 2p1, следовательно,
2m4 + n4 + 8p14 = 4r14.
Далее действуем так же: n = 2n1,
m4 + 8n14 + 4p14 = 2r14.
Наконец, m = 2m1,
8m14 + 4n14 + 2p14 = r14.
Таким образом, x = m1, y = n1, z = p1, t = r1 — решение нашего уравнения. Но ведь m1 < m! Мы получили противоречие с выбором решения m, n, r, p как «наименьшего».
Рассмотрим задачу чуть сложнее.
Задача 2. Доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения
x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt.
Решение. Пусть x, y, z, t — решение.
Так как x2 + y2 + z2 + t2 — чётное число, то среди чисел x, y, z, t — чётное число нечётных, то есть либо четыре, либо два, либо нуль. Если все числа нечётные, то x2 + y2 + z2 + t2 делится на 4, а 2xyzt не делится. Если же только два нечётных числа, то x2 + y2 + z2 + t2 не делится на 4, a 2xyzt делится. Поэтому все числа чётные, то есть x = x1, y = y1, z = z1, t = t1. Подставив эти значения в уравнение, получаем
x12 + y12 + z12 + t12 = 8x1 y1 z1 t1.
Как и прежде, видим, что все четыре числа нечётными быть не могут, иначе x12 + y12 + z12 + t12 не делится на 8. Также не могут быть нечётными ровно два числа, ибо и тогда x12 + y12 + z12 + t12 не делится на 8. Итак, мы получаем, что все числа чётные, то есть
x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2, t1 = 2t2.
Поэтому
x22 + y22 + z22 + t22 = 32x2 y2 z2 t2.
Рассуждая как и раньше, получаем, что x2, y2, z2, t2 — чётные числа и так далее. Легко понять, что при всяком натуральном s
xs2 + ys2 + zs2 + ts2 = 22s+1xs ys zs ts,
причём
xk = 2xk+1, yk = 2yk+1, zk = 2zk+1, tk = 2tk+1, k ≥ 1.
То есть при любом натуральном s числа
|
x К-во Просмотров: 256
Бесплатно скачать Статья: Метод бесконечного спуска
|