Статья: На чём стоит математика

...--*-- ... --*----*----*----*----*----*----*-- ... --*-- ...

-n -3 -2 -1 0 1 2 3 n

Рациональные дроби появились, как форма записи чисел, более "мелких", нежели натуральные. Рациональную дробь записывают в виде m/n, где целое число m называют числителем дроби, а целое число n не равное нулю - ее знаменателем.

Натуральные числа, целые числа, рациональные дроби и нуль образуют множество рациональных чисел. Рациональное число - это такое число, которое может быть представлено в виде m/n, где |m| и n - взаимно простые (несократимые) натуральные числа. В случае, когда m не делится на n нацело, частное от деления m на n представляет собой не совпадающее ни с каким целым числом рациональное число.

Всякое рациональное число m/n может быть представлено либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби; обратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Последнее утверждение (особенно в части, касающейся бесконечных десятичных периодических дробей) вызывает определенные сомнения, суть которых будет изложена ниже. Сейчас же продолжим тему цитированием фрагмента текста из учебника Н. Н. Лузина "Дифференциальное исчисление" (Москва, "Высшая школа", 1961 г.).

"Считается, что одних только рациональных чисел вполне достаточно для нужд измерительной практики, ибо они позволяют выполнять измерения с какой угодно степенью точности. Но одних только рациональных чисел становится уже недостаточно, когда надо решать вопросы геометрии, механики и теоретической физики с абсолютной точностью, ибо здесь необходимо уже знание так называемых иррациональных чисел. Как возникают эти новые числа и как их следует понимать?

Последовательность рациональных чисел сама по себе есть всюду плотная, ибо между двумя такими числами - какими бы близкими друг к другу они ни были - всегда можно найти сколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-то на первый взгляд и кажется, что для каких-нибудь новых чисел в последовательности рациональных чисел как будто совсем не остается никакого места.

Однако указанное первое впечатление оказывается глубоко ошибочным, потому что в последовательности рациональных чисел повсюду имеются просветы, как это становится ясным, когда сопоставим последовательность всех рациональных чисел с последовательностью точек на прямой линии.

----------*===================*----------

O a M

Чтобы осуществить такое сопоставление, возьмем прямую линию бесконечную в обе стороны, на ней выберем начальную точку O и примем определенную единицу длины для измерения отрезков. Очевидно, всегда можно построить отрезок, имеющий своею длиною любое заранее заданное рациональное число a и нанести его вправо либо влево от O, смотря по тому, будет ли a положительно или отрицательно. Таким образом мы получили определенную концевую точку M, которую можно рассматривать как точку, соответствующую рациональному числу a. Следовательно, можно сказать, что всякому рациональному числу соответствует одна и только одна точка на прямой.

Полученную точку M мы изображаем черной и непрозрачной; она-то и сопоставляется с взятым рациональным числом a, называющимся абсциссой точки M. Когда это проделано со всяким рациональным числом a, прямая окажется покрытой густой сетью черных непрозрачных точек M, как бы осевших на прямой и населяющих - без пустот - каждый ее участок, т. е. отрезок, где бы он ни лежал и как бы мал он ни был. У всякой из этих точек M имеется своя абсцисса a, являющаяся рациональным числом. Чем больше арифметически, т. е. беззначно, величина абсциссы a, тем дальше от начала O лежит точка M.

Это и есть искомое нами сопоставление последовательности рациональных чисел с точками прямой, при котором все точки M полученной черной непрозрачной сетки имеют, очевидно, совершенно такое же взаимное расположение друг относительно друга, какое имеют между собой их рациональные абсциссы a. Конец M всякого отрезка OM, соизмеримого с взятой единицей длины, заведомо содержится в сети, ибо такая точка M имеет рациональную абсциссу. Точки с рациональными абсциссами мы, для краткости речи, будем называть просто рациональными точками и составленную из таких точек сеть будем называть тоже рациональной сетью.

Если бы каждая точка прямой оказалась содержащейся в построенной нами сети, т. е. если бы совсем не существовало никаких несоизмеримых отрезков, тогда все дело обстояло бы необыкновенно просто: в этом случае каждая точка нашей прямой имела бы рациональную абсциссу и, значит, мы не имели бы ни малейшей нужды в каких-либо новых числах, ибо тогда одних только рациональных чисел было бы достаточно для выражения всех теоретических соотношений.

Но действительность оказывается гораздо сложнее, и одним из великих открытий, сделанных в глубокой древности, является установление наличия отрезков, несоизмеримых с данной единицы длины. По-видимому, первым примером этого рода была диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу длины.

Отложив такой отрезок от начала O, мы получим точку M, которая не соответствует никакому рациональному числу и у которой, строго говоря, пока нет никакой абсциссы.

-------*===================*=======*-------

O 1 M

А так как имеется бесчисленное множество различных длин, несоизмеримых с единицей масштаба, то прямая линия оказывается в бесконечное число раз больше богатой своими точками, чем последовательность рациональных чисел своими числами. Значит, рассматриваемое сопоставление точек и чисел вынуждают нас признать некоторую неполноту в последовательности рациональных чисел, тогда как прямой линии мы приписываем всю полноту и абсолютное отсутствие каких-либо просветов, т. е. сплошность или непрерывность.

Поскольку последовательность рациональных чисел оказывается недостаточной, является необходимость в пополнении нашей последовательности чисел таким образом, чтобы она получила такую же сплошность, т. е. полноту или непрерывность, как и сама прямая линия. Это достигается введением иррациональных чисел, определяемых лишь при посредстве рациональных чисел.

Итак, мы пришли к следующему положению: иррациональные числа совершенно заполняют все просветы, имеющиеся в последовательности рациональных чисел, т. е. мы принимаем, что всякой точке прямой соответствует число, рациональное или иррациональное, называемое абсциссой этой точки, и обратно.

Арифметически же иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных десятичных дробей.

Возводившееся веками здание современной математики (здание, фундаментом которого является представление о числе) выглядит столь грандиозным и совершенным, что сама мысль о наличии в этом фундаменте изъянов кажется кощунственной. Уж точно кощунственным прозвучит утверждение, что все это циклопическое сооружение опирается на ложные представления - представление о "сплошности" (бесструктурности) математической прямой (хорошо известной нам числовой оси) и представление о бесструктурности математической точки. Очевидно, эти представления сформировались на основе других, более общих представлений о свойствах материи - о существовании в природе бесструктурных объектов - атомов. В этом можно увидеть признак определенного рода инерции нашего мышления. Ведь несмотря на то, что около века известен установленный факт о наличии у атома сложной структуры, мы по-прежнему зовем эти объекты атомами, т. е. "неделимыми". Но только ли в инерции дело? Скорее всего, дело здесь в дефиците принципиально новых, адекватных представлений о свойствах материи. Существует и еще одна причина появления ложных представлений о свойствах математической прямой - о ее "сплошности" и она заключается в следующем. Как уже упоминалось, числа возникли из практической потребности в счете и в оном качестве они существовали в течение довольно длительного промежутка времени. Но на определенном этапе эволюции представлений о числе произошел качественный скачок - т. н. "отрыв" числа от материального носителя. Это и обусловило появление абстрактных, идеальных объектов с произвольно приписанными им свойством "сплошности", т. е. бесструктурности - математической прямой и математической точки.

Манипуляции с объектоми, обладающими несуществующими свойствами не проходят даром, результатом их оказывается появление ложных объектов, таких, например, как бесконечные периодические и непериодические дроби, т. е. часть рациональных и все иррациональные числа. Эти математические объекты принципиально нельзя назвать числами, в рамках действия принципа структурной организации материи числа и обозначенные объекты имеют разный системный смысл. В чем заключается эта разница и что в таком случае представляет собой собственно число? Попробуем - хотя бы бегло, разобраться в этом.

Примем за точку отсчета утверждение, что первоначально числа возникли из потребности счета различных предметов. Что, по сути, являет собой процесс счета, как его можно описать?

Пусть мы имеем какое-то количество предметов, которые нам необходимо сосчитать. Абстрагируемся от всех конкретных свойств этих предметов, кроме двух: самого факта существования такого предмета и наличия у него внутренней структуры. Представим процесс счета как "нанизывание" наших предметов на какую-то условную нить. В результате подобной процедуры каждый такой предмет найдет на этой нити свое место. Если теперь мы вытянем эту нить в струну, то получим аналог математической прямой как некой идеальной системы, некоего одномерного идеального пространства. Каждому узлу в этой одномерной сети (идеальному аналогу реального предмета) можно сопоставить уникальный символ для его идентификации. Самым удобным в этом смысле является число, т. к. оно характеризует наиболее общее системное свойство каждого такого предмета - его место в упорядоченном (в отличие от обычного, неупорядоченного) множестве - пространстве.

Итак, мы приняли, что число - это информационный идентификатор места объекта в системе, в случае, если этот объект рассматривается в качестве элемента такой системы. Очевидно, при таком подходе для манипуляций с числами нет никакой необходимости "отрывать" их от материальных объектов - вместо этого появляется возможность манипулировать самими идеализированными объектами, тем самым осуществляя преобразования нашего идеального пространства. Этот момент чрезвичайно важен для построения новой физики - физики, которая рассматривает материальные объекты и явления как разнообразные деформации структуры физического вакуума.

Но пойдем дальше. Важнейшей особенностью построенного нами идеального пространства (как и любого пространства) является его структурность. В структуру нашего пространства входят элементы двух видов: те, которые соответствуют узлам и те, которые соответствуют связям между ними, но вместе они образуют целостную структуру. Таким образом, рассматриваемое пространство одновременно и сплошное, непрерывное и дискретное - в смысле неоднородности. Такое пространство совпадает с известным нам множеством натуральных чисел, изображаемых точками числовой оси.