Статья: Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрич­на Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпенди­кулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+H1)/2 и, значит, K = (B+C+А+H1)/2 = (H+H1)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказатель­ство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треуголь­ника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырож­денный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырож­денного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5