Статья: Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры АH1 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания H1 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.