Статья: О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
Раскроем скобки в нашем произведении
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)(1 – x4)... .
Получится сумма (бесконечная), в которой xn встретится столько раз, сколькими способами n представляется в виде суммы возрастающей последовательности натуральных чисел: n = n1 + n2 + ... + nk , n1 < n2 < ... < nk ; при этом знак при xn будет +, если k чётно, и –, если k нечётно. Ниже в этом параграфе наборы (n1 , ..., nk ) с n1 + ... + nk = n и n1 < ... < nk называются просто «разбиениями».
Мы будем различать разбиения трёх типов. Обозначим для разбиения (n1 , ..., nk ) через s наибольшее число такое, что nk – nk–s+1 = s – 1, то есть s чисел nk–s+1, ..., nk идут подряд (очевидно, s ≤ k). Например, для разбиения 12=2+4+6 s = 1, для разбиения 12=1+5+6 s = 2, для разбиения 33=4+5+8+9 s = 3. Мы скажем, что разбиение (n1 , ..., nk ) принадлежит
первому типу, если n1 ≤ s, исключая случай n1 = s = k;
второму типу, если n1 > s, исключая случай n1 = s + 1, s = k;
третьему типу в исключённых случаях, то есть если s = k и n1 равно s или s + 1.
Поставим теперь в соответствие разбиению (n1 , ..., nk ) первого типа разбиение
| | (n2, ..., nk–n1 , nk–n1+1, ..., nk + 1), | если k – n1 ≥ 2, |
| | ||
| | (n2 + 1, ..., nk + 1), | если k – n1 = 1, |
которое относится, очевидно, ко второму типу (проверьте!).
Более того, таким образом между разбиениями первого и второго типа получается взаимно однозначное соответствие: обратное отображение ставит в соответствие разбиению (n1 , ..., nk ) второго типа разбиение
| | (s, n1, ..., nk–s , nk–s+1 – 1, ..., nk – 1), | если k – s ≥ 1, |
| | ||
| | (s, n1 – 1, ..., nk – 1), | если k – s = 0 |
(обозначение s сохраняет прежний смысл), относящееся к первому типу (проверьте!). Поскольку наше соответствие связывает разбиения, в которых числа слагаемых различаются на 1, соответствующие этим разбиениям xn уничтожатся, и в нашей сумме останутся только слагаемые, отвечающие разбиениям третьего типа. А разбиения этого типа, по определению, имеют вид
(k, k + 1, ..., 2k – 1),
(k + 1, k + 2, ..., 2k),
и им соответствуют (–1)k x½(3k² – k), (–1)k x½(3k² + k) (как вам известно, k + (k + 1) + ... + (2k – 1) = ½(3k2 – k) и (k + 1) + (k + 2) + ... + 2k = ½(3k2 + k) ).
Доказательство окончено.
4. Тождество Гаусса
Прошло около 70 лет со времени открытия Эйлера, и другой великий математик, Карл-Фридрих Гаусс, сделал следующий шаг в теории, получившей (по причинам, в которые мы не вникаем) название «теория модулярных форм». Он обнаружил, что, если функцию Эйлера возвести в куб, получится ряд, быть может ещё более замечательный, чем ряд Эйлера:
φ3(x) = (1 – x)3(1 – x2)3(1 – x3)3... = 1 – 3x + 5x3 – 7x6 + 9x10 – 11x15...
(я советую вам не полениться и вычислить столько коэффициентов ряда φ3(x)) или
| ∞ | ∞ | ||
| ∏ | (1 – xn )3 = 1 + | ∑ | (–1)n (2n + 1) xn(n+1)/2. |
| n=1 | n=1 |
Это тождество Гаусса тем более удивительно, что квадрат функции Эйлера с виду ничем не примечателен:
φ2(x) = 1 – 2x – x2 + 2x3 + x4 + 2x5 – 2x6 – 2x8 – 2x9 + x10...
(не радуют и дальнейшие члены этого ряда: последовательность его коэффициентов не обнаруживает никакой закономерности, в ней появляются тройки, четвёрки и т.д.). Глубину тождества Гаусса подчёркивает то обстоятельство, что известны его доказательства, относящиеся к совершенно разным областям математики – от геометрии Лобачевского до весьма абстрактной гомологической алгебры. Известно и доказательство, по духу близкое к доказательству тождества Эйлера из п. 3, но оно удручающе громоздко. Доказательства, которое можно было бы предложить читателям «Кванта», я не знаю. Может быть, такое доказательство придумает кто-нибудь из читателей?
5. Степени функции Эйлера
Итак, мы знаем, как устроены ряды φ(x) и φ3(x), но не имеем никакой удовлетворительной формулы для φ2(x). А как обстоит дело с рядами φ4(x), φ5(x), ...? Иными словами: при каких n существуют формулы для коэффициентов ряда φn(x)? Для ответа на этот неформальный (то есть не имеющий точного смысла) вопрос я предлагаю использовать следующий полуформальный признак. Если при некотором n среди коэффициентов ряда φn(x) часто попадаются нули – это вряд ли случайно: наверное, для φn(x) есть какое-то тождество типа тождеств Эйлера и Гаусса. Впрочем, если нулей мало или нет вовсе – ничего ещё не известно. По моей просьбе Е. И. Коркина вычислила на ЭВМ коэффициенты, с которыми в ряды φ(x), φ2(x), ..., φ15(x) входят x, x2, ..., x50 (те из вас, кто учится в математической школе и проходит практику на ЭВМ, могут попытаться повторить это вычисление). [Через 20 лет после написания статьи эти строки невозможно читать без улыбки. :) – E.G.A.] Нет смысла приводить результаты вычисления полностью; я ограничусь таблицей, в которой c(n) обозначает число нулей среди коэффициентов при x, ..., x50 в ряде φn(x):
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| c(n) | 40 | 17 | 41 | 10 | 0 | 15 | 0 | 19 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | 13 | 0 |
Констатируем: при n = 1, 3 нулей очень много (это мы уже знаем), при n = 2, 4, 6, 8, 10, 14 их порядочно, при n = 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15 их нет вовсе.
Наличие нулей при n = 2, 4 и 6 не должно нас удивлять. Дело в том, что ряды φ(x) и φ3(x) настолько разрежены, что в произведениях φ(x)φ(x), φ(x)φ3(x) и φ3(x)φ3(x) некоторые члены могут отсутствовать ещё до приведения подобных членов. Например, числа 11, 18, 21 (и многие другие) не представляются как суммы двух чисел вида ½(3n2 ± n) и потому члены с x11, x18, x21 отсутствуют в φ2(x). По аналогичной причине члены с x9, x14, x19 (и другие) отсутствуют в φ4(x), а члены с x5, x8, x14 (и другие) отсутствуют в φ6(x).
А вот «подскоки» числа c(n) при n = 8, 10, 14 так просто не объяснить. Оказывается, для φ8(x), φ10(x), φ14(x) имеются некоторые формулы, хотя и не столь изящные, как тождества Эйлера и Гаусса. (Такая формула есть и для φ15(x), но это не сказывается на нашей таблице.) Для иллюстрации я приведу формулу для φ8(x), по существу принадлежащую Ф. Клейну:
| φ8(x) = | ∑ | ( |
1 3 | + |
К-во Просмотров: 151
Бесплатно скачать Статья: О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
|