Статья: О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
2
где суммирование в правой части происходит по всем тройкам k, l, m целых чисел с k + l + m = 1.
(Хотя эта формула не особенно проста, она позволяет заметить, что если n не представляется в виде –(kl + km + lm), где k, l, m – целые числа с суммой 1, то есть в виде k 2 + l 2 + kl – k – l с произвольными целыми k, l, то член с хn отсутствует в ряде φ8(x). Например, в таком виде не представляются числа, имеющие при делении на 4 остаток 3, а также числа 13, 18, 28, 29.)
Из сказанного видно, что среди целых чисел имеются некие «избранные показатели» n, для которых ряд φn(x) имеет более или менее благоустроенный вид. Загадка «избранных показателей» была (тоже более или менее) разгадана совсем недавно, и главная заслуга в этом принадлежит английскому математику Яну Макдональду. Интересный рассказ об открытии Макдональда содержится в статье Ф. Дж. Дайсона «Упущенные возможности», русский перевод которой опубликован в первом выпуске журнала «Успехи математических наук» за 1980 год.
О Дайсоне и его статье стоит сказать особо. Дайсон – один из крупнейших физиков нашего времени, математик по образованию. [Тем, кто интересуется вопросами развития Интернет-сообщества, наверное, известна его дочь – Эстер Дайсон. – E.G.A.] Главная цель его статьи – показать на ряде ярких примеров, как значительные математические и физические открытия задерживались, порою на десятки лет, из-за отсутствия должного взаимодействия между специалистами в той и другой науке. Хотя статья не адресована школьникам и многое в ней будет вам непонятно, я уверен, что её чтение доставит вам удовольствие. А здесь я приведу (с сокращениями) отрывок из этой статьи, непосредственно касающийся нашего предмета.
6. Рассказ Ф. Дж. Дайсона
«Начну с банальной истории, случившейся со мной. Это живая иллюстрация того, какие возможности упускаются по причине узкой специализации. Свою научную деятельность я начинал с теории чисел. В мои студенческие годы в Кембридже я учился у Г. Харди, уже тогда бывшего легендарной личностью. Даже первокурсникам в те годы было ясно, что теория чисел в духе Харди и Рамануджана устарела и блестящее будущее её не ждёт. Сам Харди в лекции о τ-функции Рамануджана назвал этот сюжет «одной из тихих заводей математики». Значения τ-функции – это коэффициенты ряда:
| (1) |
Рамануджан открыл ряд замечательных арифметических свойств τ(n).
Доказательство и обобщение этих свойств Морделлом, Гекке и другими сыграли важную роль в развитии модулярных форм. Но сами τ-функции по-прежнему оставались тихой заводью, далёкой от основного русла математики, где дилетанты могли плескаться в своё удовольствие, не тревожимые конкуренцией с профессионалами. Уже став физиком, много лет спустя, я сохранил сентиментальную привязанность к τ-функции и отдыхал от такого серьёзного дела, как физика, время от времени возвращаясь к работам Рамануджана и размышляя над многими увлекательными проблемами, которые он оставил нерешёнными. Четыре года тому назад (статья Дайсона написана в 1972 году – Д. Ф.), во время такого отдыха от физики, я нашёл новую формулу для τ-функции, столь красивую, что просто поразительно, как сам Рамануджан не додумался до неё. Выглядит она так:
| (2) |
Суммирование ведётся по всем пятёркам целых чисел a, b, c, d, e, имеющих при делении на 5, соответственно, остатки 1, 2, 3, 4, 0 и таких, что a + b + c + d + e = 0, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 10n. Пользуясь (1), можно записать эту формулу в виде выражения для φ24(x) (сравните с приведённым выше выражением для φ8(x) – Д. Ф.).
Я пришёл к ней под влиянием письма Винквиста, получившего похожее выражение для φ10(x).
Продолжая своим доморощенным способом исследования этих тождеств, я обнаружил существование столь же красивой формулы, как (2), для n-х степеней φ в тех случаях, когда n принадлежит следующей последовательности целых чисел:
| n = 3, 8, 10, 14, 15, 21, 24, 26, 28, 35, 36... | (3) |
(вот они, «избранные показатели»! – Д. Ф.). На этом я остановился. Довольно недолго я разглядывал странную последовательность (3). Будучи в то время теоретиком-числовиком, я ничего в ней не увидел. Перегородки в сознании помешали мне заметить, что я неоднократно встречал эти числа в качестве физика. Попадись они мне на глаза в контексте какой-нибудь физической задачи, я бы, наверное, узнал в них размерности конечномерных простых алгебр Ли, если не считать число 26. Почему сюда попало 26 не знаю до сих пор».
Простите, я забыл, что вы не знаете, что такое простые алгебры Ли. Это неважно. Я постараюсь объяснить вам, что такое числа (3). Вспомните, что вращения плоскости вокруг фиксированной точки зависят от одного параметра – угла поворота. Вращения трёхмерного пространства зависят от трёх параметров – широты и долготы оси вращения и угла поворота. Вообще, «вращения» n-мерного пространства зависят от ½n(n – 1) параметров, а «вращения» n-мерного «комплексного пространства» – от n2 – 1 параметров. К числам ½n(n – 1) и n2 – 1 (то есть 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... и 3, 8, 15, 24, 35, ...) нужно присоединить пять «особых размерностей» 14, 52, 78, 133 и 248. Если ещё выбросить, как это и делает Дайсон, числа 1 и 6, получится последовательность (3), которую, конечно, твёрдо помнит любой физик-теоретик.
«Так я упустил возможность заметить глубокую связь между модулярными формами и алгебрами Ли только потому, что Дайсон теоретик-числовик не поговорил с Дайсоном физиком.
У этой истории счастливый конец. Неизвестный мне в то время английский математик Ян Макдональд получил эти же формулы, как частный случай более общей теории. Алгебры Ли входили в его теорию с самого начала, а связь с модулярными формами появилась нежданно-негаданно. Так или иначе, Макдональд выявил эту связь и использовал возможность, которую я упустил. Выяснилось также, что Макдональд находился в Институте высших исследований в Принстоне, когда мы оба работали над этой проблемой. Поскольку наши дочери учились в одном классе, мы виделись время от времени в течение всего его годичного пребывания в Принстоне. Но так как он был математиком, а я физиком, мы не говорили о своей работе. То, что мы думали над одним и тем же вопросом, находясь столь близко друг от друга, выяснилось лишь по его возвращении в Оксфорд. Вот упущенная возможность, но не столь драматичная, поскольку Макдональд прекрасно во всём разобрался и без моей помощи».
7. Заключение
Изложенная здесь теория совсем не ограничивается вычислением степеней функции Эйлера: имеется большое количество замечательных формул, в левой части которых стоят бесконечные произведения иного типа. Я надеюсь, что когда-нибудь вы пожелаете познакомиться с этим предметом более серьёзно. Напоследок я покажу вам ещё два тождества, которые Гаусс доказал одновременно с тождеством из п. 4:
| (1 – x)2(1 – x2)(1 – x3)2(1 – x4)(1 – x5)2(1 – x6)... = 1 – 2x + 2x4 – 2x9 + 2x16 – 2x25..., |
|
(1 – x2)(1 – x4)(1 – x6)(1 – x8)... (1 – x)(1 – x3)(1 – x5)(1 – x7)... | = 1 + x + x3 + x6 + x10 + x15 + x21 + ... . |