Статья: О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике

Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «БУРОВАЯ ТЕХНИКА»

В силу чрезвычайной сложности физических процессов, имеющих место при строительстве и эксплуатации скважин, в бурении, прежде всего, ценится практический опыт. Именно ему отдается предпочтение при принятии окончательных технологических решений. В данной работе сделана попытка показать, что теоретические исследования специфических особенностей процесса бурения, приводящие к новым результатам, также могут быть весьма плодотворными.

Классическим примером фундаментальной теоретической проблемы бурения является управление динамикой бурильной колонны. Первым ученым, который рассмотрел статику и динамику стержней, находящихся под действием собственного веса, был знаменитый Леонард Эйлер. Анализируя динамическое уравнение Эйлера, академик Л.С. Лейбензон высказал уверенность в том, что создание гидравлических двигателей, расположенных у долота, ослабит подверженность колонны неуправляемым поперечным колебаниям [1]. Изобретатель редукторного турбобура М.А. Капелюшников, анализируя неуправляемое искривление скважин, подтвердил высказанное Лейбензоном мнение [2]. К сожалению, эти ожидания не оправдались. В данной статье мы, в частности, укажем причины, в силу которых это произошло.

Расчеты американских специалистов [3], начавшиеся в 50-е годы XX века, основанные исключительно на плоских статических моделях, оказали сильное влияние на теоретические представления о поведении колонн и искривлении скважин. До сих пор большинство расчетов бурильной колонны базируется на этих представлениях, хотя нами были проанализированы ошибки А. Лубинского, его коллег и последователей [4-6]. Там же впервые установлено, что статический подход может давать удовлетворительные результаты только в отдельных частных случаях. Специфическая зависимость устойчивого поведения колонны от таких важнейших факторов, как измеренная глубина скважины и распределенная нагрузка собственного веса, также была установлена в [4-6].

Данная работа посвящена некоторым вопросам управления динамикой бурильной колонны и начинается она с исследования влияния такого важного фактора, как крутящий момент. Показано, что его воздействие на поведение колонны определяется не его величиной, а возможным изменением характера выхода колонны из состояния статического равновесия. Дело в том, что, как показано ниже, скручиваемая колонна теряет устойчивость не путем статического изгиба, а по типу флаттера, т.е. подводимая к колонне энергия преобразуется в энергию поперечных колебаний с растущей по времени амплитудой. Стенки скважины ограничивают амплитуду колебаний колонны, и в силу этого она вовлекается в прецессионное движение, бьется о стенки скважины, а долото формирует многоугольный забой, что является причиной целого ряда осложнений.

В задачах бурения наиболее часто взаимодействие долота с забоем интерпретируется как граничное условие опирания в шаровом шарнире. Вместе с тем в [7] можно найти замечание о неконсервативности задачи о сжато-скрученном невесомом стержне, подчиненном граничным условиям типа шарового шарнира, т.е. о том, что названная задача формально принадлежит к классу задач о стержнях, теряющих свою устойчивость путем развития неуправляемых поперечных колебаний. Далее мы будем пользоваться не физическим понятием консервативности [7], а понятием «самосопряженности», соответствующим математической краевой задаче [8]. Напомним, что самосопряженность означает, что краевая задача для дифференциального уравнения допускает только действительные собственные числа (критические нагрузки), и, следовательно, потеря устойчивости в такой системе по неконсервативной схеме (по схеме возникновения флаттера) [7] невозможна, т.е. «перекачивание» подводимой к системе энергии в ее колебания с растущей по времени амплитудой невозможно.

Для иллюстрации основных теоретических положений, используемых для технологических предложений по обеспечению устойчивости бурильной колонны, необходимо привести и проанализировать нижеследующие дифференциальные и трансцендентные уравнения.

Первоначально необходимо проверить на самосопряженность как дифференциальное выражение, образующее уравнение, так и граничные условия [8].

Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс потери статической устойчивости скручиваемой одноступенчатой колонны, имеет вид:

EJv(4) + Mw(3) + [(F — qx)v(1)](1) = 0;

EJw(4) — Mv(3) + [(F — qx)w(1)](1) = 0 (1)

и оказывается формально самосопряженной [8].

Граничные условия типа заделки:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(1) (0) = w(1) (0) = v(1) (L) = w(1) (L) = 0 (2)

и граничные условия полукасания (естественные вариационные) [7]:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0;

EJv(2) (0) — M/2∙w(1) (0) = EJw(2) (0) + M/2∙v(1) (0) = 0;

EJv(2) (L) — M/2∙w(1) (L) = EJw(2) (L) + M/2∙v(1) (L) = 0 (3)

также оказываются самосопряженными.

Однако наиболее распространенные граничные условия типа шарового шарнира:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(2) (0) = w(2) (0) = v(2) (L) = w(2) (L) = 0 (4)

оказываются несамосопряженными. Заметим, что несамосопряженными условия (4) остаются вне зависимости от наличия распределенной или сосредоточенной нагрузки, но в случае колонны, нагружаемой собственным весом, факт отсутствия действительных критических нагрузок можно установить аналитически.

Введем характерную единицу длины m3 = EJ/q, где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения, q — погонный вес труб. Примем обозначения l = Fm2/EJ, µ = 1/2(M/EJ)m и выполним стандартную комплексификацию системы дифференциальных уравнений (1). Сдвинем на l независимую переменную, обозначая ее z, а для безразмерной измеренной глубины L оставим прежние обозначения. Граничные условия переносятся, соответственно, в точки (-l) и (L-l), а основное комплексное уравнение принимает вид:

. (5)

Элементарными выкладками устанавливается явный вид общего решения уравнения (5), в котором граничное условие u(-l) = 0 выполняется тождественно:

(6)

Для дальнейших вычислений нам понадобятся выражения элемента a13 специального определителя, возникающего в результате подстановки (6) в граничные условия:

Здесь ai(.) и bi(.)— стандартные специальные функции Эйри [9].

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--