Статья: О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике

В случае условий шарового шарнира равенство нулю спектрального определителя упрощается к виду:

(7)

Поскольку ai(x) и ее производная не обращаются в ноль одновременно в одной и той же точке [9], первое слагаемое (7) не обращается в ноль ни при каких l и µ.

В случае заделки (7) упрощается к виду, в котором отсутствуют ai(1) (— l— µ2) и bi(1) (— l— µ2) , а множитель i µ заменяется на 1 в выражениях в [ ].

В случае полукасательных (по Болотину) условий (7) сводится к отсутствию чисто мнимых слагаемых. Два последних самосопряженных варианта граничных условий приводят к потере устойчивости путем изгиба. При этом действительные значения критических нагрузок слабо (на слагаемое µ2) отличаются от соответствующих значений для плоского случая.

Отсутствие корней уравнения (7) в случае шарнирного опирания означает возможность потери устойчивости бурильной колонны путем развития неуправляемых поперечных колебаний, на которые теряется подводимая к колонне энергия вне зависимости от способа бурения.

Важнейшим результатом наших исследований явилось то, что при использовании ГЗД флаттер колонны может возникнуть из-за реактивного крутящего момента, что не принимали во внимание ни Лейбензон, ни Капелюшников, ни другие авторы.

Для исключения самой возможности флаттера предлагается изменить характер взаимодействия колонны бурильных труб со стенками в соответствии с результатами теоретического изучения не одиночного опорно-центрирующего устройства, а пары ОЦУ.

Обычные ОЦУ обеспечивают непрерывность функции прогиба, ее первой и второй производных (угол наклона и изгибающий момент) и допускают разрыв третьей производной (скачок перерезывающей силы, в нашем случае, реакции со стороны стенки на опору). При рассмотрении нескольких ОЦУ возникает многоточечная разрывная краевая задача, описываемая дифференциальным уравнением изгиба колонны 4-го порядка, приводящаяся к алгебраической системе относительно 4(n+1) произвольных постоянных (n — число ОЦУ). Устойчивые численные методы для решения таких задач предложены в [10-11].

Аналитическое исследование названных задач начинается с представления на каждом участке колонны между ОЦУ общего решения yi дифференциального уравнения, обобщающего дифференциальное уравнение изгиба стержней в виде: индекс i соответствует номеру участка колонны между опорами, {uk}, k=1,2,3,4 — полная система линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения упругого изгиба стержней (ДУУИС), f(s)-частное решение неоднородного ДУУИС:

y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = 0, (8)

y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = (s). (9)

Рассмотрим для уравнения (9) четырехточечную краевую задачу с двумя внутренними граничными условиями в точках s1 и s2, соответствующую в обычном понимании КНБК с двумя полноразмерными центраторами:

y(0)=y(2)(0)=0; y(L)=y(2)(L)=0; 0<s1 < s2 <L;

y(s1-0)=y(s1+0)=0; y(1)(s1-0)=y(1)(s1+0); y(2)(s1-0)=y(2)(s1+0); (10)

————— - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ————--

y(s2-0)=y(s2+0)=0; y(1)(s2-0)=y(1)(s2+0); y(2)(s2-0)=y(2)(s2+0).

——— — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Осуществим предельный переход s2 — s1=  → 0.

Записывая условия (10) с помощью указанной выше формы общего решения (9), получим неоднородную линейную систему уравнений 12-го порядка относительно коэффициентов сik, k=1,2,3,4; i=1,2,3.

В результате преобразования части уравнений, входящих в (10), которые подчеркнуты прямой линией, получаем выражения вектора постоянных c2 через векторы c1, c3 и вектор, зависящий от значений частного решения неоднородного уравнения (9) в точках s1 и s2. Исключая c2 из правых частей граничных условий:

y(1)(s1-0) = y(1)(s1+0); и y(1)(s2-0) = y(1)(s2+0), устанавливаем возможность явно выразить порядок зависимости от  всех коэффициентов в системе восьми уравнений относительно c1 и c3.

Граничные условия в (10) заданных точках 0 и L не изменяются при «стягивании»: s2 — s1 =  → 0. А граничные условия в (10), подчеркнутые пунктиром, «стягиваются» к условиям равенства производных нулю. Вместе с условиями равенства нулю y (s1) новое предельное граничное условие в точке s1 принимает вид условия жесткой заделки:

y(s1-0) = y(s1+0) = 0; y(1)(s1-0) = y(1)(s1+0)=0. (11)

Таким образом, найденное предельное условие (11) разрезает колонну на невзаимодействующие части, причем справедливость этого факта не зависит от (s). Колонна «разрезается» и в горизонтальной и в наклонной (вплоть до вертикальной) прямой скважине.

Длину названных частей можно и нужно выбрать так, чтобы создать запас устойчивости для каждого из отрезаемых участков колонны. Кроме того, условие типа заделки, как мы видели выше, приводит к самосопряженным задачам, т.е. мы теоретически получили возможность подавления флаттерных колебаний путем конструирования разрезающей заделки. Наиболее простым и эффективным видом реализации разрезающей заделки, как было установлено нами, является двойное опорно-центрирующее устройство (ДОЦУ).

Это предложение принципиально отличается от рекомендации «разрезать» колонну внутренним шаровым шарниром. Последний не может подавить колебания, что теоретически объясняется тем, что установка шарового шарнира ведет к несамосопряженным граничным условиям.

Необходимо коснуться еще двух видов колебаний, которые участвуют в перераспределении энергии как при роторном способе, так и при бурении с любым видом двигателя.

Крутильные колебания связаны с качеством формирования поперечного сечения ствола скважины и, следовательно, с требованием к качеству изготовления ДОЦУ на заводе. Экспериментальные измерения реальной нагрузки на забой в процессе продольных колебаний колонны показывают очень большие — порядка 5 раз — пики нагрузки по сравнению с проектной. Этот факт может быть учтен при проектировании, изготовлении и установке ДОЦУ путем введения коэффициентов запаса в определяющие зависимости.