Статья: Применение движений к решению задач
Рассмотрим применение простейших движений[1] плоскости, таких как параллельный перенос, симметрия и вращение (поворот) при решении задач элементарной геометрии на вычисление и доказательство.
При решении задач используются основные свойства движения. Так, всякое движение переводит:
прямую в прямую, а параллельные прямые – в параллельные прямые,
отрезок – в отрезок, а середину отрезка – в середину отрезка,
луч – в луч,
угол – в равный ему угол,
точки, не лежащие на одной прямой – в точки, не лежащие на одной прямой,
полуплоскость – в полуплоскость.
ЗАДАЧА 1.
В четырехугольнике ABCD (рис.1) AB = 
, BC = 3, CD = 2, Ð BAD = ÐCDA = 60°. Найти углы ABC и BCD.
Решение. Рассмотрим параллельный перенос на вектор 
.
Получим равнобедренную трапецию ABED, у которой AB = ED = , а ÐABE =120°. Тогда CE = CD – ED = .
В треугольнике BCE имеем 9 = x2 + 3 – 2xCos60° (по теореме косинусов), где BE = x.
Отсюда x2 - x - 6 = 0 и x = 2. Замечая, что BE2 = BC2 + CE2, получим ÐBCD = 90°, а ÐCBE = 30°. Тогда ÐABC = 120° + 30° = 150°.
ЗАДАЧА 2.
Пусть A1, B1, C1 – середины сторон треугольника ABC (рис.2), O1, О2, O3 – центры окружностей, вписанных в треугольники AC1B1, C1BA1, СВА1. Найти углы треугольника O1O2O3, если AB = 4, AC = 4, ÐBAC = 30°.
Решение.
Сначала по теореме косинусов найдем сторону BC треугольника ABC: BC=4.
Следовательно, треугольник ABC будет равнобедренным и ÐBCA=30°. Рассмотрим параллельный перенос на вектор
. Так как
:A®B1, B1®C, C1®A1, то 
отображает треугольник AB1C1 в треугольник B1CA1. Тогда :O1®O3. Отсюда следует, что O1O3||AC. Аналогично рассмотрим параллельный перенос на вектор
и параллельный перенос на вектор 
.
:O1®O2Þ O1O2||AB, 
:O3®O2ÞO2O3||BC.
Тогда ÐO2O1O3=ÐBAC=30° , ÐO1O3O2 =Ð BCA = 30°, а ÐO3O2O1=180°-2×30°=120°.
ЗАДАЧА 3.
Прямая, проходящая через середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, не являющего трапецией, образует со сторонами AD и CD равные углы. Доказать, что AD = CB.
Решение.
Пусть M и H – середины сторон AB и CD (рис.3). Рассмотрим сначала параллельный перенос на вектор 
и параллельный перенос на вектор 
. 
: D ®H, A ®A1,Þ AD||A1H, AD = A1H; 
:C® H, B®B1 Þ BC ||B1H, BC=B1H. Так как по условию Ð1=Ð2, а Ð1 =Ð3 и Ð2=Ð4 как накрестлежащие углы, то Ð3=Ð4.
Затем рассмотрим центральную симметрию относительно точки M. Так как ZM : A®B, то луч AA1 отобразится в луч BB1 , так как AA1 ||BB1||DC. ZM : A1®B1, так как AA1 = DH = HC = BB1. В треугольнике A1B1H медиана MH является биссектрисой. Следовательно, треугольник A1B1H равнобедренный, т. е. A1H=B1H. Тогда и AB = CB.
ЗАДАЧА 4.
Даны две окружности b1(O1, r) и b2 (O2, r), пересекающиеся в точках M и H (рис.4). Прямая i, параллельная прямой O1O2, пресекает окружность b1 в точках A и B , а окружность b2 в точках C и D . Доказать, что величина угла AMC не зависит от положения прямой i, если лучи AB и CD сонаправлены и прямая i пересекает отрезок MH.
Решение.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--