Статья: Применение движений к решению задач
Следовательно, 
. Тогда 
В треугольнике АВК1 отрезок СМ является средней линией, поэтому СМ//ВК1. Тогда 
, так как 
.
ЗАДАЧА 11.
Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник.
Решение.
Пусть дан параллелограмм АВСД (рис. 11), АА1, ВВ1, СС1 и ДД1 – биссектрисы его внутренних углов; К, Н, М, Р – точки их пересечения. Надо доказать, что четырехугольник КНМР является прямоугольником. Рассмотрим поворот вокруг точки пересечения диагоналей параллелограмма на 1800, то есть центральную симметрию относительно точки 
.
.
Тогда 
. Следовательно, четырехугольник КНМР – параллелограмм, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам. В параллелограмме АВСД имеем: 
. Значит 
. Тогда в треугольнике АВК найдем 
. В параллелограмме КНМР получили 
, следовательно этот параллелограмм – прямоугольник.
ЗАДАЧА 12.
Дан равносторонний треугольник АВС и произвольная точка М (рис.12). Доказать, что длина большего из трех отрезков МА, МВ, МС не больше суммы длин двух других.
Решение.
Пусть ВМ – наибольший из указанных отрезков. Рассмотрим поворот вокруг точки В на 600.
. Тогда 
. Поэтому АМ=СМ1, ВМ=ВМ1. Следовательно, треугольник МВМ1 будет равносторонним. Поэтому МВ=ММ1. Но в треугольнике МСМ1: ММ1<МС+СМ1=МС+МА, то есть МВ<МС+МА. Равенство будет в том и только в том случае, когда точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.
Дополнительно о возможностях использования движений при решении геометрических задач можно прочитать в приведенной ниже литературе.
Список литературы
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 1. – М. Просвещение, 1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. – М., Просвещение, 1973.
Базылев В.Т., Дуничев К. И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 1. – М. Просвещение, 1974.
Вересова Е.Е., Денисова Н.С. Сборник задач по геометрическим преобразованиям.- М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1978.
[1] Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками.