Статья: Структура рекурсивных m-степеней в полях

Обычная теория алгоритмов изучает вычислимость над конструктивными объектами, которые допускают эффективное кодирование натуральными числами. При этом многие процессы в математике, имеющие интуитивно алгоритмическую природу, но работающие в неконструктивных областях (например, в вещественных числах), не являются алгоритмами с формальной точки зрения. Новый подход, именуемый далее - обобщенная вычислимость, трактует алгоритм как конечный, дискретный, целенаправленный и детерминированный процесс, но работающий с элементами некоторой фиксированной алгебраической системы сигнатуры . При этом элементарными шагами обобщенного алгоритма являются вычисления значений констант, функций и предикатов системы (см. [1,2,5,6]).

В качестве формализации обобщенной вычислимости будем использовать машину над списочной надстройкой из [1]. Эта машина представляет из себя конечный связный ориентированный граф с узлами четырех типов: входной узел, выходные, вычислительные и ветвления. Узел ветвления имеет две выходные дуги, с ним ассоциирована атомарная формула сигнатуры , от истинности которой зависит выбор одной из этих дуг в процессе вычислений. Узлы остальных типов (кроме выходных) имеют одну выходную дугу, с такими узлами ассоциированы термы сигнатуры . На входной узел машины подается набор элементов системы , который передается от узла к узлу по дугам графа; в узлах элементы изменяются под действием ассоциированных термов. При достижении выходного узла работа машины прекращается, полученные элементы системы выдаются как результат. Подробности см. в [1].

Имея машину, можно определить понятие функции, вычислимой в системе . Однако при этом полученный класс вычислимых функций будет достаточно мал (обоснование см. в [1,2]), поэтому предложенная формализация нуждается в улучшении. Один из возможных способов решения данной проблемы - усилить определение машины, разрешив машины со счетчиками, стеками и массивами (см. обзор [2]). Другой подход состоит в использовании списочной надстройки, введенной в [3]. Пусть A - множество, определим множество , состоящее из всевозможных списков (конечных последовательностей) элементов A, включая пустой список . Положим по индукции L0 = A, , . Множество HL(A) называется cписочным расширением множества A. Списочная надстройка системы есть система , где . Константа интерпретируется как пустой список, операции и есть взятие первого элемента списка x и удаление из списка x первого элемента соответственно, .

Функция называется вычислимой в системе , если f вычисляется некоторой машиной, примененной к списочной надстройке . Множество назовем рекурсивным в , если его характеристическая функция вычислима в . Множество рекурсивно перечислимо (р.п.) в , если оно является областью определения вычислимой функции, X - выходное в системе , если оно есть множество значений некоторой вычислимой функции. В общем случае классы р.п. и выходных множеств различны (примеры см. в [1]).В дальнейшем, если ясно, о какой системе идет речь, слова "в системе ", будем опускать.

Справедлив аналог теоремы Поста: множество рекурсивно X и его дополнение рекурсивно перечислимы. Доказательство в [1].

Вычислимость в системе совпадает с классической вычислимостью, определяемой с помощью машины Тьюринга.

Лемма 1. Всякое рекурсивно перечислимое множество определяется дизъюнкцией вида

(1)

где - рекурсивно перечислимое по Тьюрингу множество бескванторных попарно несовместных формул сигнатуры . Обратно, любая р.п. дизъюнкция бескванторных формул сигнатуры определяет рекурсивно перечислимое множество .

Это вариант леммы Энгелера для вычислимости в списочной надстройке, ее доказательство можно найти в [1]. Из леммы 1 и теоремы Поста следует, что если - бескванторная формула, то множество рекурсивно.

Определение 2. Множество X m сводится к Y (), если существует всюду определенная вычислимая функция , что

Множества X и Y m-эквивалентны (), если

m-степень множества X есть множество .

m-степень рекурсивна (р.п.), если она содержит хотя бы одно рекурсивное (р.п.) множество.

Так же, как и в классической теории алгоритмов, доказывается следующая лемма (см., например, [4]).

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения:

1) отношение рефлексивно и транзитивно;

2) рекурсивная m-степень состоит только из рекурсивных множеств;

3) .

Известно [4], что в арифметике существует только три рекурсивные m-степени: , и степень всех остальных рекурсивных множеств. В данной работе описывается структура рекурсивных m-степеней в полях с трансцендентными элементами.

Итак, пусть - поле, рассматриваемое в сигнатуре - его простое подполе. Предполагаем, что содержит трансцендентные над элементы.

Лемма 4. Множество рекурсивно одно из множеств X или [] состоит из конечного набора алгебраических над элементов и вместе с каждым элементом содержит все алгебраически сопряженные с ним (т.е. корни того же самого минимального многочлена).

Доказательство. Пусть , - минимальные многочлены для элементов X, причем вместе с каждым ai множество X содержит и все остальные корни fi(x). Тогда - рекурсивное отношение.

Пусть рекурсивно над '. Тогда X и [] определяются рекурсивными дизъюнкциями бескванторных формул и вида (1).

Случай 1. Одна из есть конечная конъюнкция неравенств вида . Такой будут удовлетворять все элементы поля , за исключением конечного числа алгебраических элементов, т.е. X есть множество требуемого вида.

Случай 2. Все содержат хотя бы одно равенство вида t(x) = 0. Тогда множество X не содержит ни одного трансцендентного элемента, следовательно, существует , которой удовлетворяют трансцендентные элементы, но тогда содержит только одни неравенства . Таким образом, мы приходим к случаю 1 с заменой X на его дополнение.

Лемма 5. Если функция вычислима в системе , то для любых принадлежит подсистеме системы , порожденной элементами .

Доказательство. См. в [1].

Теорема 6. Пусть , рекурсивные множества. Тогда каждое поле содержит одно из полей .

Доказательство. Пусть . Тогда найдется вычислимая функция f(x), что . По лемме 5, f(ai), есть значение некоторого терма сигнатуры т.е. рациональной функции с коэффициентами из поля . Значит, , т.е. .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--