Статья: Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа

Функция (13) удовлетворяет первому граничному условию из (9). Удовлетворим (13) второму краевому условию из (9).

(14)

На основании равенств [10, с. 112]

имеем уравнение для нахождения неизвестного :

(15)

В силу известных формул

имеем:

где

Тогда с учетом того, что и равенство (15) примет вид:

(16)

Таким образом, в области D+ найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевому условию (3):

(17)

3. Построение частных решений в области гиперболичности. В уравнение (1) в области D- сделаем замену переменных Тогда в координатах уравнение (1) примет вид:

Разделив переменные получим:

(18)

(19)

(20)

(21)

Решением уравнения (18) , удовлетворяющего условиям (19), является функция

(22)

Уравнение (20) так же, как и уравнение (12), является гипергеометрическим уравнением с аргументом . Переходя к аргументу , построим его общее решение:

(23)

Если то функция (23) удовлетворяет граничным условиям (21). Тогда решением уравнения (20), удовлетворяющего условиям (21), будет: