Статья: Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение:

(1)

где l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC () и CB () уравнения (1) при .

Пусть

Задача Tl. Найти значения параметра и соответствующие им функции , удовлетворяющие условиям:

(2)

(3)

(4)

(5)

где при при

Выбор значения k таковым объясняется тем, что для уравнения (1) при доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Трикоми [1].

Спектральные задачи для оператора Лаврентьева-Бицадзе были рассмотрены в работах [2-4].

В работах [5-8] изучены спектральные задачи для уравнения (1) с условиями Дирихле. В [5] для уравнения (1) в области эллиптичности построены решения первой краевой задачи и смешанной краевой задачи с помощью биортогональных рядов. В работе [6] уравнение (1) рассматривалось в D, где подобласть D+ ограничена отрезком NB оси y=0 , N=(-1, 0) , и дугой NB: а в работах [7-8] уравнение (1) изучалось в D при

В данной работе найдены в явном виде собственные значения и соответствующие собственные функции, которые отличаются от результатов [6].

2. Построение частных решений в области эллиптичности. В области D+ перейдем к новым переменным , В координатах уравнение (1) примет вид:

где .

Разделяя переменные получим:

(6)

(7)

(8)

(9)

Известно [1], что решением уравнения (6) является функция Бесселя

(10)

Удовлетворяя (10) краевым условиям (7) и (8), имеем:

(11)

Теперь построим общее решение для уравнения (8). Для этого в (8) введем новую переменную Тогда оно примет вид:

(12)

Уравнение (12) является гипергеометрическим уравнением [9, с. 69], и поскольку a не является целым числом, то общее решение уравнения (8) определяется по формуле

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--