Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми

1. Алгоритмічні проблеми

Навчаючи арифметиці в початковій школі, ми познайомилися з додаванням і множенням двох чисел. Нам у явній формі не говорили, що в будь-якої пари чисел існують добуток і сума, а вказали способи і правила їхнього знаходження. Такі способи і правила є прикладами алгоритмів, і обчислювальних (ефективних) процедур. Їхнє застосування не вимагає чи винахідливості чи кмітливості, учню необхідно було тільки слідувати інструкціям учителя.

Більш загально, алгоритм, чи ефективна процедура, – це механічне правило чи автоматичний метод, чи програма для виконання деяких математичних операцій. Приведемо ще кілька прикладів операцій, для яких легко можна вказати алгоритми:

(1.1) (а) по даному п знайти n-e просте число;

(b) диференціювання полінома;

(c) знаходження найбільшого загального дільника двох натуральних чисел (алгоритм Евклида);

(d) для двох даних чисел х, у вирішити, чи є х кратним у.

Неформально і схематично алгоритм представлений на мал. 1а. На вхід подається інформація чи об'єкт, що підлягає обробці (наприклад, поліном у прикладі (1.1) (b), пари натуральних чисел у прикладах (1.1) (с) і (d)), а виходом є результат обробки операції над входом (так, для (1.1) (b) це похідна полінома, а для (1.1) (d) – відповідь «так» чи «ні»). Вихід виробляється автоматично чорним ящиком-який може бути комп'ютером або школярем, що діє по інструкції, чи навіть дуже розумним добре тренованим собакою. Алгоритм є процедура (чи спосіб обчислення), здійснювана чорним ящиком для одержання виходу з входу.

Якщо алгоритм, чи ефективна процедура, використовується для обчислення значень числової функції, то ця функція називається ефективно вычислимой, чи алгоритмічно вычислимой, чи просто вычислимой. Наприклад, функції ху,

Чорний ящик

Вхід вихід

НОД (х, у)= найбільший загальний дільник чисел х и у и f(n)= просте число вираховувані в неформальному змісті, як уже відзначалося вище.

Розглянемо, з іншого боку, наступну функцію:

1, якщо в десятковому розкладанні числа pi знайдеться

g(n)== рівно п підряд йдущих цифр 7;

0 у противному випадку.

алгоритм предикативний операторний знання

Більшість математиків вважають, що g є цілком «законною» функцією. Але чи вираховувана функція g? Існує механічна процедура для послідовного породження цифр у десятковому розкладанні pi, тому напрошується «процедура» для обчислення функції g. «При заданому п почніть обчислювати десятковий розклад pi по одній цифрі за один такт часу і відзначайте появу сімок. Якщо на якому-небудь кроці з'явиться відрізок, що складається рівно з п сімок, зупините процес обчислення і покладете g(n)=0. Якщо такий відрізок не буде обнаружен, то покладете g(n)=0».

Недоліком цієї «процедури» є та обставина, що якщо для деякого п не існує відрізка з п – сімок, тоді ні на якому кроці процесу ми не можемо зупинитись і зробити висновок про те, що цей факт має місце. На кожному даному кроці ми можемо очікувати, що така послідовність сімок може зустрітися в ще недослідженній нескінченній частині розкладання pi. Таким чином, ця «процедура» буде продовжуватися нескінченно довго для усякого входу п, такого, що g(n)=0; тому вона не є ефективною процедурою. (Можливо, що існує ефективна процедура для обчислення g, заснована, імовірно, на деяких теоретичних властивостях числа pi. В даний час, однак, така процедура невідома.)

Цей приклад виявляє дві характерні риси поняття ефективної процедури, а саме що така процедура відбувається за деяку послідовність кроків (кожен крок виконується за кінцевий час) і що кожен вихід з'являється після кінцевого числа кроків.

Дотепер ми неформально описували поняття алгоритму (чи ефективної процедури) і зв'язаного з ним поняття обчислюваної функції. Ці поняття мають потребу в уточненні, перш ніж вони стануть основою для математичної теорії обчислюваності.

Визначення будуть дані в термінах простого «ідеалізованого комп'ютера», що виконує програми. Ясно, що процедури, що можуть бути пророблені реальним комп'ютером, є прикладами ефективних процедур. Однак кожен окремий реальний комп'ютер обмежений як величиною чисел, що надходять на вхід, так і розміром доступного робочого простору (для запам'ятовування проміжних результатів); саме в цьому відношенні наш «комп'ютер» буде ідеалізованим відповідно до неформальної ідеї алгоритму. Програми нашої обчислювальної машини будуть кінцевими, і ми скажимо, щоб обчислення, що завершуються, виконувалися за кінцеве число кроків. Входи і виходи ми обмежимо натуральними числами; це не є істотним обмеженням, оскільки операції, що включають інші види об'єктів, можуть бути закодовані як операції над натуральними числами. (Більш докладно ми зупинимося на цьому в § 5.)

2. Необхідні поняття, факти і нотація із інших математичних дисциплін

Тут дано огляд математичних понять і роз'яснимо позначення і терміни, що будуть використані надалі.

1. Множини

Для позначення множин звичайно будуть використовуватися прописні букви А, В, С…. Тут хА позначає, що х є елементом множини А чи належить множині А, а хА означає, що х не належить множині А. Позначення {х/… х…}, де…х… є деяке твердження, що включає х, означає множину всіх об'єктів х, для яких…х… вірно. Так, {х/х є парним натуральним числом} є множина {0,2, 4,6,…}.

Якщо А, В суть множини, то запис A В означає, що А міститься (як частина) в В (чи А є підмножиною В); запис АВ означає, що АВ, але АВ (тобто А є власною підмножиною В). Об'єднання множин А, В, є множина {х| хА чи хВ (чи відразу двом множинам А, В)} і позначається А U В; перетин А, В є множина {х/хА і хВ } і позначається через АВ. Різниця (чи відносне доповнення) множин А, В є множина {х / х А і хВ} і позначається А\В.

Порожня множина позначається через 0. Стандартний символ N позначає множину натуральних чисел {0, 1, 2, 3,…}. Якщо А – множина натуральних чисел (тобто А N), то А позначає доповнення до А до N, тобто N\А. Через N⁺ позначається множина додатніх натуральних чисел {1,2,3,…}, а множина цілих чисел позначається через Z.

Упорядкована пара елементів х, у позначається (х, у); таким чином, (х, у)(у, х). Картезіанським, чи декартовым, добутком множин А и В називається множина {(х, у)/хА, уВ}, і позначається вона через АВ.

Більш узагальнено, запис (х₁ …, х_n ) позначає упорядкований n-набір (п-ку) елементів х₁ ,…, х_n; часто цей n-набір позначається однією жирною буквою х . Якщо А_1, …, А_n суть множини, те А₁ …А_n позначає множину n-ок {(х_1, …, х_n )/х₁ А₁ і х₂ А₂ …х_n А_n }. Добуток АА…А (п разів) скорочено позначають як Аⁿ ; а А¹ означає просто А .

2. Функції

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--