Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми
на команду з міткою ir, якщо предикат P0 (x) = .t. (x = 0), і передає управління на команду з міткою jr, якщо предикат P0 (x) = .f. (x > 0).
В теорії алгоритмів вважається, що операторні SA та предикатні SP алгоритми із KS-1 виконуються на вхідних даних із N абстрактними автоматамиом – багаторегістровими обчислювальними машинами (N-БРМ). Для кожного алгоритму А ця машіна Ба складається з блоку управління і m регістрів, де кожний регістр (комірка) Rk може зберігати довілне натуральне число. Блок управління містить програму Па і забезпечує її виконання по вищенаведеній схемі. Система команд N-БРМ складається з множини 0, x+1, x-^1, P0 (0) , які можуть виконуватися над вмістом кожного Rk, а також команд присвоювання, безумовного і умовного переходу, пересилки і запису в регістр.
Часткові або всюдиозначенні k-арні функцію g: Nk –> N, яка задана на натуральних числах, або предикат P: E* –> T, F, будемо називати рекурсивною функцією (предикатом), або R-функцією (R-предикатом), якщо існує програма із класу КП-1 П1g, що обчислює g (P).
Приклади доведення по побудові рекурсивності функцій наведені у розділі VI данної інструкції.
Як відомо [1,2], згідно до тези Тюрінга-Черча, клас всіх R-функцій вважаються точним аналогом інтуїтивного поняття алгоритму (взагалі кажучи, часткового).
3. Аналгічно до класів KS-1 схем алгоритміві ¶нтерпретацій KI-1 введемо, відпвидно, класи KS-2 і KI-2.
Нехай E = a1., an – деякий алфавит. Через E* позначимо множину всіх слів в алфавібі E, включаючи однолітерні слова виду 'ai' і пусте слово e = ''.
Введемо на E* деякі стандартні функції і предикати. Якщо w = x1x2..xm і v = y1y2..yk – слова iз E*, то
а) con (w, v) = wv = x1x2..xmy1y2..yk, con (e, v) = con (v, e) = v;
б) del(w) = d(w) = x2x3..xm, del(e) = e;
в) для всіх літер ai із E предикат hai(w) = T (істино), коли x1 = ai, і hai(w) = F (хибно), коли перша літера x1 у слові w не дорівнює ai (1 <= i <= m), причому для всіх i
hai(e) = F.
Якщо а – довільна літера із E*, то через (a^n) позначається слово, що склдається із n літер a.
Клас схем програм KS-2 містить (n + 1) унарних функціональних символів fa1, fa2., fan, g, один константний символ b і n унарних предикатних символів pa1, pa2., pan,
В класі інтерпретацій KI-2 схем із KS-1 множина D завжди співпадає з множиною E* всіх слів в алфавіті E, а кожне відображення I із KI-2 задовільняє наступним вимогам:
1) I(b) = е;
2) I (fai(x)) = con (I(x), 'ai')= I(x) ai для всіх літер ai із E;
3) I (g(x)) = del (I(x));
4) I (pai(x)) = hai (I(x)) для всіх літер ai із E;
5) I(xi) є E* для всіх вхідних змінних СОА і СПА виду (6), (7), і I(y) = e для всіх інших змінних із пам'яті вищезгаданих схем алгоритмів.
Замінивши у (5) сімволи fai, g, b і hai згідно з інтерпретацією I із класу KI-2 ми отримаємо програмноподібну структуру, рядки якої будемо називаті командами. Тому схеми алгоритмів (6) і (7) iз класу KS-2 далі інтерпретуються, як відповідні алгоритми (програми) iз класу прграм KП-2, функціонування яких подібно до функціонування програм, що написані на мовах програмування типу Паскаль, коли ці програми працюють на даних типу string. Ясно, що функціонуваня команд програм із класу КП-2 аналгічно, з точністю до інтерпретації символів її схеми, до функціонуваня команд програм із класу КП-1, яке було описано вище.
Зауважимо також, що по аналогії з N-БРМ БN можна ввести E-БРМ БE, що реалізує програму із КП-2, а також NE-БРМ БNE. БNE можна розглядати як «об'єднання» програм ПN i ПE для БN i БE в тому сенсі, що множини регістрів БN i БE не перетинаються, але вони мають загальний блок управління (i спільні мітки), в якій поміщена спільна програма ПNE, в яку входять всі команди, як із ПN так і із ПE.
Часткові або всюдиозначенні функцію g: E*вх –>E*вх, яка задана на множині слів довільного алфавіту E, або предикат P: E* –> T, F, будемо називати E – рекурсивною функцією (предикатом), або RE-функцією (RE-предикатом), якщо існує програма із класу КП-2 П1g, що обчислює g (P).
Як відомо [1], [2], за допомгою кодуючої функції доводиться, що, в певному сенсі, клас R-функцій (R-предикатів) і клас RE-функцій (RE-предикатів) є еквівалентні.
Приклади доведення по побудові RE-рекурсивності функцій і предікатьв наведені далі.
Побудуємо алгоритм, що обчислює функцію
z:= f1 (x, y) = x + y.
x, y! z
|
q10 К-во Просмотров: 338
Бесплатно скачать Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми
|