Учебное пособие: Аналитические методы исследования температурных полей

Следовательно, решение (4.1) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности. Необходимо лишь убедиться в правильном выборе постоянного (не зависящего от х и t) сомножителя в выражении (4.1), очевидно, сокращающегося в тождестве (г).

По мере того, как тепло Q источника распространяется по телу, температуры отдельных точек тела изменяются, но общее теплосодержание остается постоянно равным Q. Подсчитаем теплосодержание тела Q(t) в процессе распространения (4.1) тепла точечного источника в любой момент времени t:

(4.2)

и проверим, остается ли оно постоянно равным Q.

Выражение 4πR2 представляет собой площадь изотермической сферической поверхности радиуса R. Подставим в выражение (4.2) уравнение процесса распространения тепла (4.1) и вычислим интеграл

Интеграл берем по частям

∫udp = up - ∫pdv

dp=exp{-R2/4at}·d(-R2/4at) =-exp{-R2/4at}·RdR/2at

p= exp{-R2/4at}; u=-2atR; du=-2atdR

Известно, что ; приведем к этому виду интеграл подстановкой , тогда

Подставим это значение интеграла в уравнение

Следовательно,

Теплосодержание Q(t) тела, нагретого мгновенным точечным источником, в любой момент процесса t равняется теплу Q, сосредоточенному в начальный момент в точке О, следовательно, постоянный сомножитель в уравнении (4.1) выбран правильно. Теплосодержание бесконечного тела остается постоянным, так как тело не теряет тепла в окружающую среду.

В начальный момент t = 0, формула (4.1) дает бесконечно большую температуру в точке О, T(0,0) → ∞, так как в этот момент конечное количество тепла Q сосредоточено в точке, т.е. в бесконечно малом элементе объема. Во всем объеме тела вне точечного источника начальная температура равна нулю, Т (R, 0) = 0. В весьма удаленных от источника точках тела R→∞ температура во все время процесса остается равной нулю, T(∞,t) → 0.

Изотермические поверхности представляют собой сферы. Убывание температуры по радиусу выражается множителем , в то время как множитель представляет убывание температуры точки R=0 во времени. Наибольшая температура всегда в точке R = 0.

Принцип наложения. В теле действует ряд сосредоточенных источников. Будем полагать коэффициенты λ, су и α независящими от температуры, тогда дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия становятся линейными. Как известно, сумма любого числа частных решений линейного дифференциального уравнения также удовлетворяет этому уравнению. Поэтому тепло каждого источника распространяется по телу независимо от действия других источников, т.е. так, как и тепло от одиночного источника. Процессы распространения тепла отдельных источников не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга. Принцип наложения состоит в том, что температура в процессе распространения тепла при совместном действии ряда источников рассматривается, как сумма температур от действия каждого из источников в отдельности.

Принцип наложения неприменим, если:

а) коэффициенты теплофизических свойств материала λ, сγ и коэффициент теплоотдачи α считать зависящими от температуры;

б) учитывать происходящие в теле изменения агрегатного состояния, связанные с поглощением или выделением тепла (плавление, отвердевание, структурные превращения).

Если теперь воспользоваться принципом наложения, то, комбинируя мгновенные точечные источники, можем получить множество иных источников теплоты.

Мгновенный линейный источник. Мгновенный линейный источник теплоты представляет собой комбинацию мгновенных точечных источников, действующих одновременно и расположенных по линии.

Температурное поле в пластине от мгновенного линейного источника при отсутствии теплоотдачи получается путем интегрирования температурных полей от мгновенных точечных источников

(4.3)

После преобразования и замены Q1=Q/δ, [дж/см] находим