Учебное пособие: Математические модели в менеджменте и маркетинге

В реальных системах управления задачу оптимизации приходится решать с учетом нескольких критериев эффективности одновременно. В общем случае задача многокритериальной (векторной) оптимизации ставится следующим образом.

Имеется множество X различных (альтернативных) вариантов решения задачи управления. Вариант решения - это конкретное значение вектора параметров управления, то есть конкретный вариант плана производства, или вариант загрузки оборудования, или вариант стратегии управления и т.п.

Каждый вариант решения х € Х оценивается вектором критериев

Очевидно вариант Х° является строго оптимальным, если

где y_iext - минимальное или максимальное значение критерия y_i , в зависимости от требований оптимизации.

Однако в реальныхсистемах существование строго оптимального решения У° маловероятно, а часто и невозможно из-за противоречивости взаимосвязанных критериев. Например, при росте объемов производства растет и расход ресурсов, хотя объем надо максимизировать, а ресурсы минимизировать.

Практический интерес представляет поиск существующих вариантов, близких к оптимальному. Такими вариантами являются так называемые Парето-оптимальные варианты, составляющие множество P Ì X •

Вариант x*ÎР если значение частного критерия y_i ( x *) для любого i, можно улучшить лишь за счет ухудшения других частных критериев. Другими словами, вариант X оптимален по Парето, если не найдется ни одного другого варианта X'€Х , такого, для которого

причем хотя бы для одного i выполняется

Здесь и далее предполагается, что все частные критерии надо минимизировать.

Для поиска Х ÎР используется два подхода:

- векторный критерий У преобразует (сворачивают) в обобщенный скалярный критерий Yc а затем применяют известные однокритериальныеметоды оптимизации (линейное, нелинейное, стохастическое программирование и т.п.) ;

- применяют специальные методы многокритериальной оптимизации непосредственно по векторному критерию У . .

Рассмотрим некоторые способы свертки. Наиболее простой способ - взвешенное линейное суммирование частных критериев .

где a- коэффициент важности (вес) частного критерия Y_i . . Для определения значений коэффициентов применяют экспертные методы. Использовать линейную свертку суммированием нельзя, если существует нелинейная зависимость частных критериев между собой.

Если один из частных критериев намного важнее остальных, для которых известныих предельно допустимые значения b_i , то оптимизация производится по наиболее важному (главному) критерию Ус=Y_i а для остальных критериев устанавливаются ограничения:

Если удалось упорядочить все частные критерии по важности, но не удалось определитьих вес a и предельные значения b, то можно попытаться использовать метод последовательных уступок. В этом методе на первом шаге производится поиск X₁ ^* , оптимального по самому важному критерию y₁ . Остальные критерии при этом игнорируются. На 2-ом шаге выполняется поиск Х*₂ , оптимального по критерию y₂ а на ухудшение критерия y₁ накладывается ограничение

где D₁ - уступка, характеризующая допустимое отклонение y ₁ от егоминимального значения, найденного на 1-ом шаге.

Для простоты предполагается, что все критерии надо минимизировать.

На t , - ом шаге отыскивается X_t * , для которого

Наконец, на n. -ом шаге отыскивается X *= X_n , для которого

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--