Учебное пособие: Матрицы

Определители

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁ ), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁ : Δ = |А|=а₁₁ . Например, пусть А= (3), тогда Δ₁ = |А|=3.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилом треугольника или правилом Сарруса:

Минором M_ij элемента a_ij матрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a_ij матрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j :

A_ij =(-1)^i+j M_ij , i, j=1, 2, 3

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Примечание. Определитель треугольной (и диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |А'|=|А|.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

, при i¹j

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁ , b₂ , …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁ , b₂ , …, bn.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

|С| = |А|*|В|, где C=А*В; А и В-матрицы n – го порядка.

Ранг матрицы