Учебное пособие: Матрицы

Основные вопросы лекции: общие определения, связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-го порядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы; ранг матрицы.

Матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойнойиндексацией: a_ij , где i – номер строки, j – номер столбца:

, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n

Матрица называется квадратной n – го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы a_ij , у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁ , a₂₂ , …, a_nn , а a_1n , a_2n-1 , …, a_n1 – элементы дополнительной диагонали.

Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица (вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций.

а) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij =λa_ij для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.

б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой

С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

(т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае А+0=А.

в) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:

Примечание. A*B≠B*A.

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А^т .

Возведение в степень. Целой положительной степенью А^m (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

А^m =A*A*…*A (m>1)

m раз

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают А⁰ = Е, А¹ = А.

Следом trА квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов:

Матрица А^-1 , обратная к квадратной матрице А, – такая матрица, что

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--