Учебное пособие: Матрицы

Определение. РангомматрицыА называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Аобозначается rang Аилиr(А).

Свойства ранга матрицы:

1⁰ . Ранг матрицы А_mxn не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang A≤min (m; n);

2⁰ . г(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0;

3⁰ . Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.