Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность была наибольшей (или суммарные затраты — наименьшими).

Данная задача называется общей распределительной задачей.

Количество единиц i-го ресурса, которое выделено для выполнения работ j-то вида, обозначим xij.

Математическая модель задачи такова:

найти

(1.5)

при ограничениях

(1.6)

(1.7)

Ограничение (1.6) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а ограничение (1.7) — что ресурсы должны быть израсходованы целиком.

2. Математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП).

Задачу линейного программирования можно сформулировать так

Найти

(2.1)

при условиях

(2.2)

и

(2.3)

Ограничения (2.3) называют условиями неотрицательности. В данном случае все условия имеют вид неравенств. Иногда они могут быть смешанными, т. е. неравенства и равенства.

Определение 3. Допустимым множеством решений задачи (2.1)—(2.3) называется множество R(х) всех векторов х, удовлетворяющих условиям (2.2) и (2.3).

Очевидно множество R(х) представляет собой выпуклое многогранное множество или выпуклый многогранник.

Отметим, что поскольку minF(х) эквивалентен max[-F(х)], то задачу ЛП всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Стандартная форма задачи линейного программирования

Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает, что для всех переменных выполняется условие неотрицательности и все условия-ограничения имеют вид уравнений с неотрицательной правой частью.

Допустимые базисные решения.

Пусть ограничения задачи ЛП заданы в форме уравнений, т.е. задача записана в стандартной форме и содержит m уравнений и n (n³m) переменных. Тогда все допустимые крайние точки множества допустимых решений определяются как все однозначные неотрицательные решения системы m уравнений, в которых n-m переменных равны нулю. Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем приравнивания к нулю (n-m) переменных, называются базисными решениями. Если базисное решение удовлетворяет требованию неотрицательности, оно называется допустимым базисным решением. Переменные, имеющие нулевое значение называются небазисными или свободными переменными, а остальные базисными.

Основные теоремы линейного программирования

В основе методов решения задач линейного программирования лежат следующие теоремы.

Основная теорема линейного программирования, устанавливающая место нахождения оптимальных решений.

Теорема 2.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества R, то она принимает это значение в крайней точке R (вершине выпуклого многогранника). Если целевая функция принимает максимальное значение более, чем в одной крайней точке, то она принимает это же значение в любой их выпуклой комбинации.

Из теоремы 2.1 следует, что при отыскании оптимального решения достаточно просмотреть только крайние точки допустимого множества решений R.

Теорема 2.2. Каждое допустимое базисное решение соответствует крайней точке R.

Справедлива также следующая теорема, обратная к теореме 2.2. Теорема 2.3. Если — крайняя точка допустимого множества решений R, то соответствующее решение x0 — является допустимым базисным решением системы ограничений задачи линейного программирования.

Используя результаты теорем 2.1 и 2.2, можно сделать вывод, что для отыскания оптимального решения задачи линейного программирования достаточно перебрать лишь допустимые базисные решения. Этот вы­вод лежит в основе многих методов решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод.