Учебное пособие: Основні закони динаміки

Оскільки dt - мала величина ( dt 0 ), то dm·d - нескінченно мала величина вищого порядку i її можна відкинути; dm_газ = - dm згідно закону збереження маси. Після перетворень одержимо:

md - dm(_газ - ) =dt

Різниця _газ - = _відн - це швидкість витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газової струмини (див.рис.2.3).

(Якщо ракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зі швидкістю _{віднгазсрр} ; _{віднгаз} ).

Отже:

=dt+ (2.16)

Розділимо (2.16) на dt :

(2.17)

За формою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна, а змінюється з часом. До зовнішньої сили додається член , який носить назву реактивної сили:

(2.18)

Якщо маса вiддiляється, то < 0 i вектор протилежний вектору _відн ; якщо маса приєднується, то > 0 i вектор співпадає за напрямком з _відн .

Рівняння (2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінною масою або рівнянням Мещерського (Мещерський I.В. (1859 - 1935)).

Якщо = 0, то з (2.16) одержимо:

Нехай ракета рухається в напрямку, протилежному . Спроектуємо останню рiвнiсть на вісь OY (див. рис. 2.4):

mdv = - v_відн dm;

(2.19)

Будемо вважати, що v_відн стала; тодi розв`язування рівняння (2.19) спрощується:

(2.20)

Значення C визначимо з початкових умов (якщо
v₀ = 0, то початкова маса дорівнює m₀ ), якi пiдставимо в (2.20):

, звiдки .

Таким чином:
або . Остаточно:

(2.21)

(2.21) називають формулою Ціолковського (К.Е. Цiолковський (1857-1935)).

(Застосування (2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень. При v_відн =1 км/c для v₁ =8 км/c матимемо що нереально (потрібні кращі сорти палива). При v_відн =4 км/c (політ в одну сторону)).

6. ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ ГАЛІЛЕЯ.

Розглянемо дві iнерцiальнi системи вiдлiку - i (див. рис. 2.5). Нехай S - нерухома СВ, а S' - рухається відносно S зі сталою швидкістю . Для простоти вважатимемо, що направлена вздовж вiсi OX i в момент часу t₀ = 0 осi координат систем i співпадали. Нехай в момент часу t рухома точка знаходиться в положенні M.

Тоді: .

Припустивши, що час в обох СВ однаковий (абсолютнiсть часу), тобто t=t´, одержимо: