Учебное пособие: Основы дискретной математики

Как мы видели, если массив отсортирован, то искать его элементы необходимо с помощью двоичного поиска. Однако не забудем, что массив должен быть отсортированным! В следующем разделе мы исследует разные способы сортировки массива. Оказывается, эта задача встречается достаточно часто и требует заметных вычислительных ресурсов, поэтому сортирующие алгоритмы исследованы вдоль и поперек, известны алгоритмы, эффективность которых достигла теоретического предела.

Связанные списки позволяют эффективно вставлять и удалять элементы, но поиск в них последователен и потому отнимает много времени. Имеются алгоритмы, позволяющие эффективно выполнять все три операции.

1.2.4 Сортировки

Сортировка вставками

Один из простейших способов отсортировать массив – сортировка вставками. В обычной жизни мы сталкиваемся с этим методом при игре в карты. Чтобы отсортировать имеющиеся у вас карты, вы вынимаете карту, сдвигаете оставшиеся карты, а затем вставляете карту на нужное место. Процесс повторяется до тех пор, пока хоть одна карта находится не на месте. Как среднее, так и худшее время для этого алгоритма – O (n ² ). Дальнейшую информацию можно получить в книге Кнута [4].

На рисунке 1.8 (a ) мы вынимаем элемент 3. Затем элементы, расположенные выше, сдвигаем вниз – до тех пор, пока не найдем место, куда нужно вставить 3. Это процесс продолжается на рисунке 1.8 (b ) для числа 1. Наконец, на рисунке 1.8 (c ) мы завершаем сортировку, поместив 2 на нужное место.

Рисунок 1.8 – Сортировка вставками

Если длина нашего массива равна n , нам нужно пройтись по n – 1 элементам. Каждый раз нам может понадобиться сдвинуть n – 1 других элементов. Вот почему этот метод требует довольно-таки много времени.

Сортировка вставками относится к числу методов сортировки по месту. Другими словами, ей не требуется вспомогательная память, мы сортируем элементы массива, используя только память, занимаемую самим массивом. Кроме того, она является устойчивой – если среди сортируемых ключей имеются одинаковые, после сортировки они остаются в исходном порядке.

Сортировка с помощью включения

Кто играл в карты, процедуру сортировки включениями осуществлял многократно. Как правило, после раздачи карт игрок, держа карты веером в руке, переставляет карты с места на место, стремясь их расположить по мастям и рангам, например, сначала все тузы, затем короли, дамы и т. д. Элементы (карты) мысленно делятся на уже «готовую последовательность» и неправильно расположенную последовательность. Теперь на каждом шаге, начиная с i = 2, из неправильно расположенной последовательности извлекается очередной элемент и перекладывается в готовую последовательность на нужное место.

for i:=2 to N do

begin

x:=a[i];

<включение х на соответствующее место готовой последовательности a[1],…, a[i]>

End

Поиск подходящего места можно осуществить одним из методов поиска в массиве, описанным выше. Затем х либо вставляется на свободное место, либо сдвигает вправо на один индекс всю левую сторону. Схематично представим алгоритм для конкретного примера:

Исходные элементы 23 34 12 13 9

i =2 23 34 12 13 9

i =3 12 23 34 13 9

i =4 12 13 23 34 9

i =5 9 12 13 23 34

В алгоритме поиск подходящего места осуществляется как бы просеиванием x : при движении по последовательности и сравнении с очередным a[j] . Затем х либо вставляется на свободное место, либо а[j] сдвигается вправо и процесс как бы «уходит» влево.

Сортировка с помощью прямого включения

Элементы массива, начиная со второго, последовательно берутся по одному и включаются на нужное место в уже упорядоченную часть массива, расположенную слева от текущего элемента а[i] . В отличие от стандартной ситуации включения элемента в заданную позицию массива, позиция включаемого элемента при этом неизвестна. Определим её, сравнивая в цикле поочерёдно a [i ] с a [i ‑1], а [i ‑2],… до тех пор, пока не будет найден первый из элементов меньший или равный а [i ], либо не будет достигнут левый конец массива. Поскольку операции сравнения и перемещения чередуются друг с другом, то этот способ часто называют просеиванием или погружением. Очевидно, что программа, реализующая описанный алгоритм, должна содержать цикл в цикле.

program sortirovka_l;

(*сортировка включением по линейному поиску*)

const N=5;