Для лінійних кодів. враховуючи, що в коді завжди є нульова КК, кодова відстань визначається мінімальною вагою КК,

Максимальна кратність виявлення помилок ,

, (1)

а виправлення: ; (2)

Теорема. Якщо d₀ парне, то код може виправляти помилок і виявляти помилок.

Рис. 1

На рисунку 1 приведена геометрична модель найпростішого коригувального коду (4, 3) з парним числом одиниць, представлена на площині, де всі дозволені КК зображені у виді крапок, що є центрами окружностей з радіусами d = 1. Заборонені КК відображені крапками на окружностях, що завжди є загальними для двох суміжних окружностей.

З рис. 1 видно, що мінімальна відстань між двома дозволеними КК дорівнює двом одиницям по Хемінгу, тобто d₀ = 2. Тут дозволені КК мають єдине відображення – центри окружностей, а кожній заборонений КК відповідають дві дозволені КК, у чому виявляється невизначеність при декодуванні таких КК. Принцип виявлення помилок при використанні коду (4, 3) очевидний. Якщо в результаті дії перешкод дозволена КК "переходи" з центра на окружність (d = 1), то таке викривлення в місці прийому завжди буде виявлено за структурою коду. Перехід з одного центра окружності в центр будь-якої іншої окружності (d = 2 чи 4) приводить до невиявленої помилки. Такий код, як видно з приведеного рисунку, дозволяє виявляти всі помилки непарної кратності.

Подібно до коду (4,3), на рис. 2 а приведений тільки фрагмент геометричного представлення коду з d₀ = 3, а на рис. 2 б – коду з d₀ = 4. З наведених рисунків видно, що перший код дозволяє виправляти однократні помилки, а інший – дає можливість, окрім виправлення однократних помилок ще й виявлення двократних помилок, що переконує у справедливості виразів (1) і (2).

а) б)

Рис. 2

Код з парним числом одиниць має один перевірочний символ, який визначається:

, де j=1, a g_ji =1

d₀ =2, значність коду n=k+1; збитковість .

Такий код дозволяє виявити всі помилки непарної кратності:

, – найближче менше непарне число до n

.

Для КПВ

; ;

;

;

Швидкість коду ;

Збитковість коду ;

Згортувальні коди – це такі коди, в яких кодова послідовність на виході кодера може бути представлена як дискретна "згортка" по mod2 інформаційних символів і імпульсної реалізації кодера, тобто:

,

де – вихідна послідовність символів кодера;

і = 0, 1, 2, ... – порядковий номер символів на вході та на виході;

L – об’єм пам’яті кодера;

x (i-l) – послідовність інформаційних символів з врахуванням затримки в комірках пам’яті кодера;

h (l) – імпульсна реакція кодера на дію - ...000010000...

Рис. 3