Учебное пособие: Системи документального електрозв’язку
Для лінійних кодів. враховуючи, що в коді завжди є нульова КК, кодова відстань визначається мінімальною вагою КК,
Максимальна кратність виявлення помилок ,
, (1)
а виправлення: ; (2)
Теорема. Якщо d0 парне, то код може виправляти помилок і виявляти помилок.
Рис. 1
На рисунку 1 приведена геометрична модель найпростішого коригувального коду (4, 3) з парним числом одиниць, представлена на площині, де всі дозволені КК зображені у виді крапок, що є центрами окружностей з радіусами d = 1. Заборонені КК відображені крапками на окружностях, що завжди є загальними для двох суміжних окружностей.
З рис. 1 видно, що мінімальна відстань між двома дозволеними КК дорівнює двом одиницям по Хемінгу, тобто d0 = 2. Тут дозволені КК мають єдине відображення – центри окружностей, а кожній заборонений КК відповідають дві дозволені КК, у чому виявляється невизначеність при декодуванні таких КК. Принцип виявлення помилок при використанні коду (4, 3) очевидний. Якщо в результаті дії перешкод дозволена КК "переходи" з центра на окружність (d = 1), то таке викривлення в місці прийому завжди буде виявлено за структурою коду. Перехід з одного центра окружності в центр будь-якої іншої окружності (d = 2 чи 4) приводить до невиявленої помилки. Такий код, як видно з приведеного рисунку, дозволяє виявляти всі помилки непарної кратності.
Подібно до коду (4,3), на рис. 2 а приведений тільки фрагмент геометричного представлення коду з d0 = 3, а на рис. 2 б – коду з d0 = 4. З наведених рисунків видно, що перший код дозволяє виправляти однократні помилки, а інший – дає можливість, окрім виправлення однократних помилок ще й виявлення двократних помилок, що переконує у справедливості виразів (1) і (2).
а) б)
Рис. 2
Код з парним числом одиниць має один перевірочний символ, який визначається:
, де j=1, a gji =1
d0 =2, значність коду n=k+1; збитковість .
Такий код дозволяє виявити всі помилки непарної кратності:
, – найближче менше непарне число до n
.
Для КПВ
; ;
;
;
Швидкість коду ;
Збитковість коду ;
Згортувальні коди – це такі коди, в яких кодова послідовність на виході кодера може бути представлена як дискретна "згортка" по mod2 інформаційних символів і імпульсної реалізації кодера, тобто:
,
де – вихідна послідовність символів кодера;
і = 0, 1, 2, ... – порядковий номер символів на вході та на виході;
L – об’єм пам’яті кодера;
x (i-l) – послідовність інформаційних символів з врахуванням затримки в комірках пам’яті кодера;
h (l) – імпульсна реакція кодера на дію - ...000010000...
Рис. 3