1) Доказать , что при каждом натуральном n числе7^2n-4^2n делится на 33 2) Доказать , что справедливо равенство 1/1*5 + 1/5*9 + 1/9*13 + ... + 1/(4n-3)(4n+1) = n/4n+13) Решить уравнение (x+3) - (x-5) = x+1

1) надо знать формулы      a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)                          a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)      a⁴+b⁴=(a+b)(a³-a²b+ab²-b⁴)                a⁴-b⁴=(a-b)(a³+a²b+ab²+b⁴)    и по аналогии с ними уметь разложить    [latex]a ^{n}+b ^{n}=(a+b)(a ^{n-1}-a ^{n-2}b.... (-1) ^{n-1}b ^{n-1} ) [/latex] [latex]a ^{n}-b ^{n}=(a-b)(a ^{n-1}+a ^{n-2}b.... +b ^{n-1} ) [/latex] [latex]7 ^{2n}-4 ^{2n}=(7 ^{n}) ^{2}-(4 ^{n}) ^{2}=(7^{n}-4 ^{n})(7 ^{n}+4 ^{n})= \\ =(7-4)(7 ^{n-1}+7 ^{n-2}\cdot 4+... + 7\cdot4 ^{n-2}+4 ^{n-1})\cdot \\ \cdot(7+4)(7 ^{n-1}-7 ^{n-2}\cdot 4+... + 7\cdot4 ^{n-2}-4 ^{n-1})= \\ =(7-4)(7+4)\cdot F(n)=33\cdot F(n) [/latex] кратно 3 2) Доказательство методом математической индукции состоит из трех шагов    - проверить выполнение для n = 1 [latex] \frac{1}{1\cdot5}= \frac{1}{1\cdot5} [/latex] -   предположить, что равенство верно для n=k [latex] \frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+ ...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}= \frac{k}{4k+1} [/latex] и используя это равенство, доказать, что и для следующего натурального  числа (k+1) , равенство верно Т.е докажем, что   [latex] \frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{k+1}{4k+5} [/latex] Для доказательства берем левую часть последнего равенства и заменяем первые k слагаемых на сумму (правую часть предыдущего равенства): [latex]\frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{k}{4k+1}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} =[/latex] [latex]= \frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{4k ^{2} +5k+1}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{(k+1)}{(4k+5)}[/latex] верно. Таким образом на основании принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n 3) (x+3) - (x-5) = x+1 x + 3 - x + 5 = x +1    8 = x + 1    x = 8 - 1   x= 7