1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми в пространстве? 2) Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми? 3) Каков признак перпендикулярности двух плоскостей? 4) Какие векторы называются коллинеарны...

1)Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим прямые a1 и b1 так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M1. Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a1 и b1. Пусть угол между пересекающимися прямыми a1 и b1 равен углу . Теперь построим прямые a2 и b2, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М2, отличную от точки М1. Угол между пересекающимися прямыми a2 и b2также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a1 и b1совпадут с прямыми a2 и b2 соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М1 перейдет в точку М2. Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М. 2)Теорема.Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.Доказательство.Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую bпроходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a1.В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a1 проходит единственная плоскость. Обозначим ее .Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости  (так как прямая a параллельна прямой a1, лежащей в плоскости ).Единственность плоскости  следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.3)Определение.Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам.Для обозначения перпендикулярности используют символ вида . То есть, если плоскости  и  перпендикулярны, то можно кратко записать . Если плоскости  и  перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость перпендикулярна к плоскости  или плоскость  перпендикулярна к плоскости . Поэтому перпендикулярные плоскости  и  часто называют взаимно перпендикулярными. 4)Определение.Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.Два коллинеарных вектора  и  называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают . 5)Определение.Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.Два вектора  и  трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы  и соответственно. Проведем через начало вектора  прямую b1, параллельную прямойb, а через начало вектора  прямую a1, праллельную прямой a. Плоскости, образуемые прямыми a и b1, а так же прямыми b и a1, параллельны по построению, а векторы  и  принадлежат им. Следовательно, векторы  и  компланарны. 6)Пример.В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy даны две точки . Найдите координаты векторов  и  в этой системе координат.Решение.Вектор  является радиус-вектором точки А, следовательно, его координаты совпадают с координатами точки А, то есть, .Координаты вектора  находим как разность соответствующих координат точек В и А: