1. корни: 2x+5x^3=x^8-4x^4+4; 2. решить уравнение: 8*(3^2+1)*(3^4+1)*(3^8+1)*...*(3^128+1)*х=3^256-1

1. См графическое решение. Строим график у=2х+5х³ - кубическая парабола возрастающая на (-∞;∞) и график у=х⁸-4х⁴+4 Находим y`=8x⁷-16x³ y`=0 8x⁷-16x³=0 8x³(x⁴-2)=0 x=0  x= - √(√2)   x=√(√2) - точки возможных экстремумов х= - √(√2)  и  х=√(√2) - точки минимума, производная  при переходе через эти точки меняет знак с - на +. у(-√(√2))=у(√(√2))=0 х=0- точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на -. у(0)=4 Одна точка пересечения х≈0,75 у=3 Найдем абсциссы точек пересечения графика у=х⁸-4х⁴+4 с прямой у=3. Решим уравнение: х⁸-4х⁴+4=3 Замена переменной х⁴=t t²-4t+1=0 D=16-4=12 t=(4-2√3)/2 =2-√3         или          t=2+√3 x⁴=2-√3                       или              х⁴=2+√3 х²=√(2-√3)                                      х₂=√(2+√3) х₁=-√(√(√(2-√3))) или х₂=√(√(√(2-√3))) или х₃=-√(√(√(2+√3)))  или х₄=√(√(√(2+√3))) См. рисунок. х₂=√(√(√2(-√3))) - корень уравнения. О т в е т.√(√(√(2-√3)))=[latex] \sqrt[8]{2- \sqrt{3} }=0,7400828...[/latex] 2. 3²⁵⁶-1=(3¹²⁸)²-1²=(3¹²⁸+1)(3¹²⁸-1)=(3¹²⁸+1)·((3⁶⁴)²-1²)= (3¹²⁸+1)·(3⁶⁴+1)·(3⁶⁴-1)=...= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)(3²-1)= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8 Уравнение примет вид: 8·(3²+1)·(3⁴+1)·(3⁸+1)·(3¹⁶+1)·(3³²+1)·(3⁶⁴+1)·(3¹²⁸+1)= =(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8 имеет корень х=1 О т в е т. х=1