1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1;3]. 2. При каких значениях параметра а функция у=5/3 ах^3 - 30 x^2+5(a+9)x-7 возрастает на всей числовой прямой?

1) y (x) = 1/3*x³ -x² +1)  ;  x∈ [-1 ; 3 ] . --------------------------------------------- min(y) --?  max(y) --? y ' (x) = (1/3*x³ -x² +1)' =1/3*3*x² - 2*x +0 =x²  -2x ;   y ' (x) = 0; x² - 2x  = 0 ; x(x-2) =0 ; x=0; x =2. -------------------------------------------------------------------- y(a) =y(-1) = 1/3*(-1)³ -(-1)² +1= - 1/3 -1 +1  = -1/3 . y(b) =y(3) =1/3*(3)³ -3² +1 =1/3*27 -9 +1 = 1. y(0) = 1/3*0³ -0² +1 = 1. y(2) = 1/3*2³ -2² +1² =8/3 -4 +1 = -1/3. ----------------------------------------------------------- min(y) = -1/3. max(y)  =1. ********************************************* 2)  y = 5/3 ax³  -30x² +5(a+9)x   -7 . y '    = 5ax² - 60x +5(a+9) =5(ax² -12x +a+9) ; функция  возрастает на всей числовой прямой y ' > 0;   5(ax²  -12x +a+9)>0    ; ax² -12x +a+9 > 0; --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a=0 ⇒x<3/4    т.е.  не при всех   видно было сразу из функции  при a=0 y = -30x² +45x   -7  парабола ветви вниз (не имеет минимума) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- a ≠ 0 ; { a > 0 ; D < 0 ⇔{ a > 0 ; D/4 < 0  ; {a>0 ; 6² -a(a+9)<0.  {a>0 ; a² -9a -36 >0 .   {a>0 ; (a +3)(a -12) >0 . {a>0 ; a∈( -∞; -3) U (12;∞).     a> 12. ответ:   a> 12