1) найти целые решения системы : x+y=2 и xy+z^2=1 ( оба уравнения в одной системе) 2)Доказать, что если a,b,c - положительные числа и abc=1, то a+b+c ⩾3 все решить подробно и понятно, баллы таки не маленькие с:

решим уравнение [latex]xy+z^2=1[/latex] относительно [latex]z[/latex]: [latex]z=\pm \sqrt{1-xy},xy \leq 1[/latex] для решения в целых числах необходимо, что бы подкоренное выражение было полным квадратом: [latex]\left \{ {{1-xy=k^2,k\in Z} \atop {xy \leq 1}} \right.[/latex] используем условие, что [latex]x+y=2;y=2-x[/latex] [latex]\left \{ {{1-x(2-x)=k^2,k\in Z} \atop {x(2-x) \leq 1}} \right.; \left \{ {{1-2x+x^2=k^2,k\in Z} \atop {2x-x^2 \leq 1}} \right.; \left \{ {{(x-1)^2=k^2,k\in Z} \atop {0 \leq 1-2x+x^2}} \right.;[/latex] [latex]\left \{ {{(x-1)^2-k^2=0,k\in Z} \atop {0 \leq (x-1)^2}} \right.;[/latex] второе условие системы выполняется всегда получили: [latex](x-1-k)(x-1+k)=0,k\in Z[/latex] [latex]x=1+k,or,x=1-k,k\in Z[/latex] [latex]\left \{ {{x=1+k} \atop {y=2-(1+k)}} \atop {z=\pm k } \right.,or, \left \{ {{x=1-k} \atop {y=2-(1-k)}} \atop {z=\pm k } \right.[/latex] [latex]\left \{ {{x=1+k} \atop {y=1-k}} \atop {z=\pm k } \right.,or, \left \{ {{x=1-k} \atop {y=1+k)}} \atop {z=\pm k } \right.[/latex] Ответ: (1+k;1-k;k); (1+k;1-k;-k); (1-k;1+k;k); (1-k;1+k;-k); где [latex]k\in Z[/latex] Докажем, что [latex] \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc};a\ \textgreater \ 0;b\ \textgreater \ 0;c\ \textgreater \ 0[/latex] Пусть [latex]a=x^3[/latex]; [latex]b=y^3[/latex]; [latex]c=z^3[/latex] тогда наше неравенство равносильно неравенству (его нам тепер нужно доказывать): [latex]x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz[/latex] [latex]x^3+y^3+z^3-3xyz \geq 0[/latex] предлагаю разложить на множители уже самому [latex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)[/latex] [latex]x+y+z\ \textgreater \ 0[/latex] по условию докажем, что [latex]x^2+y^2+z^2 \geq xy+xz+yz[/latex] для это рассмотрим верное неравенство: [latex](x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 \geq 0[/latex] [latex]x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2 \geq 0[/latex] [latex]2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz \geq 0[/latex] [latex]x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz \geq 0[/latex] [latex]x^2+y^2+z^2 \geq xy+xz+yz[/latex] мы доказали, что [latex] \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc};a\ \textgreater \ 0;b\ \textgreater \ 0;c\ \textgreater \ 0[/latex] тогда [latex]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3* \sqrt[3]{1}=3[/latex] неравенство доказано