№1. Пользуясь методом математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n имеет равенство. (см. вложение 1): №2. Найти х, используя зависимость между компонентами и результатами действий. выполнить проверку п...

№1. База: n = 1: [latex] \frac{1}{1 * 2} = \frac{1}{1 + 1} [/latex] Шаг: Допустим, что мы доказали, что наше равенство верно для n = k, то есть [latex] \frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1} [/latex], теперь докажем, что это верно для n = k + 1, то есть, что [latex]\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2} [/latex] Переход:  [latex]\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} [/latex] = [latex](\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)}) + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}[/latex] = [latex]( \frac{k}{k + 1}) + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k(k + 2)}{(k + 1)(k + 2)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}[/latex] = [latex]\frac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{(k + 1)^{2}}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}[/latex]. Что и требовалось доказать. Значит для любого числа выполняется это равенство.