1. xy' + y + xe^(-x^(2)) = 02. (x + 2y)dx + 2xdy = 03. y = y' ln y4. y" + 4y' + 4y = 05. y" + 10y' + 34y = -9e^(-5x)6. y" + 4y = 3cosx

[latex]1) xy'+y+xe^{-x^2}=0[/latex] Вычтем [latex]e^{-x^2}x[/latex] с обеих сторон и разделим на [latex]x[/latex]: [latex]y'+ \frac{y}{x}= -e^{-x^2}[/latex] Допустим, μ=[latex]e^{ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx }=x[/latex] Умножим обе части уравнения на μ: [latex]xy'+y=-e^{-x^2}x[/latex] Замена: [latex]1=x'[/latex]: [latex]xy'+x'y=-e^{-x^2}x[/latex] [latex](xy)'=-e^{-x^2}x[/latex] [latex] \int\limits {(xy)'} \, dx = \int\limits {-e^{-x^2}x} \, dx [/latex] [latex]xy= \frac{e^{-x^2}}{2}+C [/latex] [latex]y= \frac{ \frac{e^{-x^2}}{2}+C }{x} [/latex] [latex]2) (x+2y)dx+2xdy=0[/latex] [latex]2y+2xy'+x=0[/latex] [latex]y'+ \frac{y}{x} =- \frac{1}{2} [/latex] Допустим, μ=[latex]e^{ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx }=x[/latex] [latex]xy'+y=- \frac{x}{2} [/latex] Замена: [latex]1=x'[/latex] [latex]xy'+x'y=- \frac{x}{2} [/latex] [latex](xy)'=- \frac{x}{2} [/latex] [latex] \int\limits {(xy)'} \, dx = \int\limits {- \frac{x}{2} } \, dx [/latex] [latex]xy=- \frac{x^2}{4} +C[/latex] [latex]y=- \frac{x}{4} + \frac{C}{x} [/latex] [latex]3) y=y'ln y[/latex] [latex]y'= \frac{y}{lny} [/latex] [latex] \frac{ln(y)y'}{y} =1[/latex] [latex] \int\limits { \frac{ln(y)y'}{y} } \, dx = \int\limits {} \, dx [/latex] [latex] \frac{1}{2} ln^2(y)=x+C[/latex] [latex]y_1=e^{- \sqrt{2} \sqrt{x+C} }[/latex] [latex]y_2=e^{ \sqrt{2} \sqrt{x+C} }[/latex] [latex]4) y''+4y'+4y=0[/latex]; Решим, как однородное линейное уравнение: Допустим, решение будет решение будет пропорционально e^(λx) для некоторой константы λ. Заменим y=e^(λx) в дифференциальное уравнение: (e^(λx))''+4(e^(λx))'+4e^(λx)=0; Заменим (e^(λx))''=λ²e^(λx)   и (e^(λx))'=λe^(λx): λ²e^(λx)+4λe^(λx)+4e^(λx)=0; (λ²+4λ+4)e^(λx)=0; Т.к. e^(λx)≠0 для любого конечного λ, нули должны исходить от многочлена: λ²+4λ+4=0; (λ+2)²=0; λ=-2   λ=-2; Кратность корня  λ=-2 - это 2, делающее [latex]y_1=Ce^{-2x}[/latex], [latex]y_2=Ce^{-2x}x[/latex] в качестве решения, где C -произвольная константа. Ответ: [latex]y=y_1+y_2=C_1e^{-2x}+C_2e^{-2x}x[/latex]