1)Докажите, что если окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K , а прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K , в...

Question

1)Докажите, что если окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K , а прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K , в...

1)Докажите, что если окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K , а прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K , в точке C, то ∠ AKB =90 и ∠ O1CO2= 90 , а отрезок AB общей внешней касательной окружностей равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними, и равен 2 Rr . 2) Докажите, что если прямые, проходящие через точку A, касаются окружности S в точках B и C, то центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S .

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

Решение. Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r , окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a. Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания. Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF. Кроме того: O1O = r+x, O1O2 = r+R , O2O = R+x , O1E = r-x , O2D = R-r , O1D =EF=EO+OF , O2F = R-x. Далее имеем:(R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) = (r+x)^2 - (r-x)^2(все выражение под корнем) = (R+x)^2 - (R-x)^2;2*Rx (Rx под корнем) = 2* rx (rx под корнем) + 2*Rx (Rx под корнем) 2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем: (x+R)^2 - (x-R)^2 (все выражение под корнем) = (R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) + (x+r )^2 - (x-r)^2(все выражение под корнем) ;2*Rx(Rx под корнем) = 2* Rr(Rr под корнем) +2*rx(rx под корнем)