1)Какое значение а нужно,чтобы уравнение а²х- 2а²=49х+14а имело один корень? 2)При каком значении а сумма корней уравнения х²-(а²-17а+83)х-21=0 будет наименьшей?

[latex]a^2x- 2a^2=49x+14a \\\ a^2x-49x=2a^2+14a \\\ (a^2-49)x=2a(a+7) \\\ (a-7)(a+7)x=2a(a+7)[/latex] Рассмотрим три случая: 1) При а=7 получим: [latex](7-7)\cdot (7+7)\cdot x=2\cdot7\cdot(7+7) \\\ 0\cdot 14\cdot x=14\cdot14 \\\ 0\cdot x=196[/latex] Получившееся уравнение не имеет решений. 2) При а=-7 получим: [latex](-7-7)\cdot (-7+7)\cdot x=2\cdot(-7)\cdot(-7+7) \\\ -14\cdot 0\cdot x=-14\cdot0 \\\ 0\cdot x=0[/latex] Получившееся уравнение имеет бесконечное множество корней. 3) Если а≠7 и а≠-7, то разделим левую и правую часть уравнения на (а+7)(а-7) [latex] \dfrac{(a-7)(a+7)}{(a-7)(a+7)} \cdot x= \dfrac{2a(a+7)}{(a-7)(a+7)} \\\ x= \dfrac{2a}{a-7} [/latex] Именно в этом случае уравнение будет иметь один корень. Ответ: [latex]a\in(-\infty;-7)\cup(-7;7)\cup(7;+\infty)[/latex] [latex]x^2-(a^2-17a+83)x-21=0[/latex] Прежде чем рассматривать сумму корней докажем, что уравнение всегда будет иметь корни. Находим дискриминант: [latex]D=(a^2-17a+83)^2-4\cdot1\cdot(-21)=(a^2-17a+83)^2+84[/latex] Сумма неотрицательного числа (квадрат) и положительного числа есть число положительное, значит дискриминант положительный и уравнение имеет два корня при любом значении а. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: [latex]x_1+x_2=a^2-17a+83[/latex] Выражение [latex]f(a)=a^2-17a+83[/latex] представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине, которую вычислим по формуле: [latex]a_{min}=-\frac{B}{2A} =-\frac{-17}{2\cdot1} =8.5[/latex] Иначе можно было найти ответ приравняв к нулю первую производную функции: [latex](a^2-17a+83)'=0 \\\ 2a-17=0 \\\ a_{min}= \frac{17}{2} =8.5[/latex] Ответ: 8,5