1.найти производную у=sin^3(4x+5) в точке -1 2.в каких точках надо провести касательные к графику функции ф(х)=2x^3+3x^2 так, чтобы эти касательные были параллельны прямой у=36х+7

[latex]y'=(\sin^3(4x+3))'=12\cos(4x+3)\sin^2(4x+3)[/latex] Вычислим производную в точке -1 [latex]y'(-1)=12\cdot\cos(-4+3)\sin^2(-4+3)=12\cdot \cos1\sin^21=[/latex] Угловой коэффициент касательной должен равен угловому коэффициенту заданной прямой: [latex]k=36[/latex] и по определению: [latex]k=tg'(a)[/latex], где [latex]a[/latex] - число. Вычислим производную функции: [latex]f'(x)=(2x^3+3x^2)'=6x^2+6x[/latex] Учитывая [latex]x=a[/latex], имеем: [latex]f'(a)=6a^2+6a\\ 36=6a^2+6a|:6\\ 6=a^2+a\\ a^2+a-6=0[/latex] По т. Виета: [latex]a_1=2;\,\,\,\, a_2=-3[/latex] Итак, мы имеем 2 касательные, абсцисса одна в точке [latex]2[/latex] и другая в точке [latex]-3[/latex] [latex]f(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2=2^2(4+3)=4\cdot7=28\\ f(-3)=2\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2=9(-6+3)=-27[/latex] [latex]f'(a_1)=f'(a_2)=36[/latex] По формуле касательной: [latex]y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)[/latex] Подставим и получаем касательные: [latex]y_1=28+36(x-2)=28+36x-72=\boxed{36x-44}\\ \\ y_2=-27+36(x+3)=-27+36x+108=\boxed{36x+81}[/latex] В точках [latex]x=2[/latex] и [latex]x=-3[/latex]

1. - самостоятельно. 2 Касательные к графику функции - Y = 2*x³ + 3*x² Производная в точке касания -  коэффициент - k - наклона прямой. Производная. Y'(x) = 6*x² + 6*x Параллельно прямой - Y = 36*x+7 = k*x+b. Решаем  квадратное уравнение. -  Y(x) = 36 После сокращения на 6 получаем x² + x - 6 = 0 Решаем - D = 25,  √25 = 5 и получаем координаты точек по оси Х. Ах = -3 и Вх = 2. Вычисляем координату по оси У. Ay = Y(-3) = 2*(-27)+ 3*9 = - 54+81 = 27 By= Y(2)= 2*8+3*4 =16+12 = 28 ОТВЕТ: А(-3;27)  и В(2;28)