26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0

Пусть наше решение имеет координаты А(x;y) теперь наша задача избавиться от сомножителя ху, для этого повернем наше  координатную плоскость на угол альфа,затем мы получим какие то  координаты при сохранившимися точки А , только A(x';y')   .Первый коэффициент равен 26, второй 10, третий делим пополам получим -15 Найдем тот угол на который мы его повернули , по формуле тангенса двойного угла [latex]tg2a=\frac{2*-15}{26-10}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\\ [/latex]теперь решим наше уравнение относительно  tga , получим [latex]tga= -\frac{3}{5}\\ tga=\frac{5}{3}\\ [/latex]возьмем любой угол.Найдем теперь углы относительно каждой оси ОХ и ОУ . Для этого выразим косинусы , через тангенс [latex]cosa=\frac{3}{\sqrt{34}}\\ sina=\frac{5}{\sqrt{34}}\\ [/latex]Теперь разложим на составляющие базисы, то есть мы их повернули, теперь распишем их по углам  [latex]x=\frac{3x'}{\sqrt{34}}-\frac{5y'}{\sqrt{34}}\\ y=\frac{5x'}{\sqrt{34}}+\frac{3y'}{\sqrt{34}}\\ [/latex] Теперь подставим эти значения в наше уравнение  [latex]26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0\\[/latex]  Получим  [latex]35y^2'+x^2'+2\sqrt{34}x'+34=0\\ 35y^2'+ (x'+\sqrt{34})^2=0\\[/latex]  сумма квадратов равна 0 , только тогда когда они сами равны 0, то есть приравняем каждое уравнение к 0 получим  [latex]x=-\sqrt{34}\\ y=0\\[/latex] теперь зная эти координаты , получим координаты Нашей искомой точки А без поворота!  Подставим эти значение где  разложили на составляющие базисы получим  x=-3 y=-5