2sin^2 2x + 7cos2x - 3 = 0

[latex]2sin^2 (2x)+7cos(2x)-3=0[/latex] используем формулу косинуса двойного угла [latex]cos(2A)=1-2sin^2 A[/latex] синуса двойного угла [latex]sin (2A)=2sin A cos A[/latex] и основное тригонометрическое тождество [latex]sin^2 A+cos^2 A=1[/latex] при єтом [latex]sin^2 (2x)=(sin(2x))^2=(2sin xcosx)^2=\\\\2^2(sin x)^2(cos x)^2=4sin^2xcos^2 x=4sin^2 x(1-sin^2 x)[/latex] уравнение перепишется в виде [latex]2* 4sin^2 x(1-sin^2x)+7(1-2sin^2 x)-3=0[/latex] [latex]8sin^2 x-8sin^4 x+7-14sin^2 x-3=0[/latex] [latex]-8sin^4 x-6sin^2 x+4=0[/latex] [latex]4sin^4 x+3sin^2 x-2=0[/latex] вводим замену (учитывая ограниченность синуса) [latex]sin^2 x=t; -1 \leq sin x \leq 1; 0 \leq sin^2 x \leq 1[/latex] [latex]sin^4 x=(sin^2 x)^2=t^2; 0 \leq t \leq 1[/latex] получим уравнение [latex]4t^2+3t-2=0[/latex] [latex]D=3^2-4*4*(-2)=9+32=41[/latex] [latex]t_1=\frac{-3-\sqrt{41}}{2*2}<0[/latex] - не подходит [latex]t_2=\frac{-3+\sqrt{41}}{2*2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}[/latex] итак изначальное уравнение равносильно уравнению [latex]sin^2 x=\frac{\sqrt{41}-3}{4}[/latex] или используя формулу понижения степени (а именно [latex]sin^2 A=\frac{1-cos(2A)}{2}[/latex]) получим [latex]\frac{1-cos(2x)}{2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}[/latex] [latex]2-2cos(2x)=\sqrt{41}-3[/latex] [latex]-2cos(2x)=\sqrt{41}-3-2[/latex] [latex]cos(2x)=\frac{-\sqrt{41}+5}{2}[/latex] [latex]2x=^+_-arccos(\frac{\sqrt{41}-5}{2})+2*\pi*k[/latex] [latex]x=^+_-\frac{1}{2}*arccos(\frac{-\sqrt{41}+5}{2})+\pi*k[/latex], k є Z