2x^3-9x^2+12x+k=0 имеет ровно два корня. Найти k

Если кубическое уравнение имеет 2 действительных корня, то на самом деле это 3 корня, но 2 из них равны друг другу. То есть уравнение можно представить так: [latex]2 x^{3} -9 x^{2} +12x+k=2(x- x_{1} )(x- x_{2} )^2=0[/latex] Раскрываем скобки [latex]2(x-x_1)(x^2-2x_2x+x_2^2)=[/latex] [latex]=2(x^3-x_1x^2-2x_2x^2+2x_1x_2x+x_2^2x-x_1x_2^2)=[/latex] [latex]=2 x^{3} -2x_1x^2-4x_2x^2+4x_1x_2x+2x_2^2x-2x_1x_2^2=0[/latex] [latex]2 x^{3} -(2x_1+4x_2)x^2+(4x_1x_2+2x_2^2)x-2x_1x_2^2=0[/latex] Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны { 2x1 + 4x2 = 9 (знак минус одинаковый в обоих случаях) { 4x1*x2 + 2x2^2 = 12 { -2x1*x2^2 = k x1 из 1 уравнения подставляем во 2 и 3 уравнения { x1 = (9 - 4x2)/2 { 4(9 - 4x2)/2*x2 + 2x2^2 = 12 { -2(9 - 4x2)/2*x2^2 = k Приводим подобные { x1 = (9 - 4x2)/2 { 18x2 - 8x2^2 + 2x2^2 = 12 { -9x2^2 + 4x2^3 = k Второе уравнение - просто квадратное, решим его отдельно 18x2 - 6x2^2 = 12 Делим все на -6 x2^2 - 3x2 + 2 = 0 (x2 - 1)(x2 - 2) = 0 1) x2 = 1; x1 = (9 - 4x2)/2 = (9 - 4)/2 = 5/2 k = -9x2^2 + 4x2^3 = -9*1^2 + 4*1^3 = -9 + 4 = -5 2) x2 = 2; x1 = (9 - 4x2)/2 = (9 - 8)/2 = 1/2 k = -9x2^2 + 4x2^3 = -9*4 + 4*8 = -36 + 32 = -4 Ответ: -4; -5