A, b, c – натуральные числа, причем (a – b) – простое число и 3c² = c(a + b) + ab. Докажите, что 8c + 1 – точный квадрат.

   [latex] 3c^2=c(a+b)+ab\\ 3c^2=ac+bc+ab \\ [/latex]  положим что [latex]a+b=x\\ a-b=y\\\\ 3c^2=cx + \frac{x^2-y^2}{4}\\ 12c^2=4cx+x^2-y^2\\ y^2=(x+6c)(x-2c)\\ [/latex]    так как [latex]y[/latex] - простое   [latex]y^2=(x+6c)(x-2c)\\ [/latex]   то есть либо  [latex]x+6c=y^2\\ x-2c=y^2[/latex] , и того система   [latex] x+6c=y^2\\ x-2c=1\\\\ [/latex]  отнимая получим  [latex] 8c=y^2-1\\ 8c+1=y^2[/latex]   чтд