C3:[latex]log_{x} ( \sqrt{x^2 + 2x - 3} + 2 )log_{5}(x^2 + 2x - 2) \geq log_{x}4[/latex]

Прикинем, какие ограничения есть на x. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: [latex]x^2+2x-3\geqslant 0\\ x\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)[/latex] В основании логарифма должно стоять положительное число, не равное 1, поэтому с учётом полученного ранее неравенства выполняется соотношение x > 1. При таких иксах [latex]\log_x4>0[/latex] и на правую часть можно поделить. Пользуясь известной формулой перехода к новому основанию, переписываем полученное в виде [latex]\log_4(\sqrt{x^2+2x-3}+2)\log_5(x^2+2x-2)\geqslant 1[/latex] Как устроена функция из левой части неравенства? При x > 1 она возрастает, вблизи x = 1 значения близки к нулю (уж точно меньше правой части), поэтому решение неравенства - множество [latex][x_0,+\infty)[/latex], где [latex]x_0[/latex] - значение, при котором неравенство обращается в равенство. Таким образом, остаётся лишь каким-то образом найти решение уравнения   [latex]\log_4(\sqrt{x^2+2x-3}+2)\log_5(x^2+2x-2)=1[/latex] Каких-то хороших способов решить такое уравнение мне в голову не пришло, поэтому корень просто угадаю. Представим, что аргумент второго логарифма равен 5. Тогда аргумент второго логарифма окажется равным [latex]\sqrt{5-1}+2=4[/latex], и произведение окажется равным [latex]\log_44\cdot\log_55=1[/latex], как и требуется. Теперь всё свелось уж к совсем простому: необходимо найти такое x > 1, при котором [latex]x^2+2x-2=5[/latex]. Это [latex]x=2\sqrt2-1[/latex]. Ответ. [latex][2\sqrt2-1,+\infty)[/latex]