Через середину M стороны ВС треугольника АВС, в котором АВ неравно ВС, проведена прямая параллельная биссектриса угла А и пересекающие прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите ВD = СЕ 

Через точку В надо провести прямую, параллельную биссектрисе АК (К - точка пересечения биссектрисы угла А и стороны ВС) и параллельной ей прямой МD (или МE, что одно и то же.. прямой МDE) до пересечения с продолжением СА в точке Р. Треугольники АDE и (подобный ему) АВР - равнобедренные, так как угол DEA = угол КАС = угол КАВ = угол EDA, то есть углы при основании равны. Поэтому очевидно РЕ = BD;  С другой стороны, поскольку МЕ - средняя линяя в треугольнике BCP (МЕ II BP и проходит через середину М стороны ВС), то есть PE = CE; Поэтому BD = CE