Через вершину С правильного треугольника АВС, в котором АС=16 см, проведён перпендикуляр РС к плоскости треугольника.Найти угол между плоскостями АВС и АРВ, если РВ=20 см.

Проведём высоту треугольника ABC из вершины С к основанию и обозначим точку на основании М Высота равностороннего треугольника при известной стороне 16 см будет составлять: [latex]h= \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{16 \sqrt{3} }{2} =8 \sqrt{3}[/latex] см. Высота первого треугольника h у нас будет образовывать сторону второго треугольника CPM. Угол с второго треугольника СРМ является прямым, поскольку через вершину С первого треугольника проведён перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Находим строну РМ треугольника СРМ из соотношения: [latex]PM^{2}=CM^{2}^+CP^{2} \\ PM= \sqrt{CM^{2}^+CP^{2}} = \sqrt{ (8 \sqrt{3})^{2}+20^{2} } = \\ = \sqrt{192+400} =24.331[/latex] Причём: CМ = h = 8√3 см, СР = 20 см. PM=24.331 см Угол с = 90° Для решения задачи по этим данным необходимо найти величину угла < PMC = m. (m малое) Из теоремы синусов: [latex] \frac{PC}{Sin m} = \frac{PM}{Sin m} [/latex] Выводим формулу относительно Sin m: [latex]Sin m = \frac{PC*Sinc}{PM}[/latex] Поскольку угол с является прямым (90°) и значение его синуса равно 1 (единице), то формула для нахождения величины угла m упрощается: [latex]Sinm= \frac{PC}{PM}[/latex] Подставляем значения в выведенную формулу и находим значения синуса угла m: [latex]Sin m = \frac{20}{24.331} = 0.822[/latex] Находим величину угла m: [latex]m =arcsin 0.822=55.286[/latex] Ответ: Угол между плоскостями АВС и АРВ составляет = 55.286°