Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Обозначим угол [latex]BOC=a[/latex]. Тогда угол  [latex]BOA=180-a[/latex] .  Площадь треугольника [latex]S_{AOB}=\frac{AO*1*cosa}{2}\\ S_{BOC}=\frac{OC*1*sina}{2}\\\\ S_{AOB}=4S_{BOC}\\ S_{ABC}=\frac{5OC*sina}{2}\\\\ S_{OCD}=8OCcosa\\ S_{AOD}=8AOsina\\ S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\\\ S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina\\ [/latex] но  с другой стороны площадь четырехугольника равна  [latex]S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina [/latex]  Тогда  [latex]2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina [/latex]  По свойству хорд  получаем  [latex]AO*OC=16*1[/latex] выражая и подставляя в уравнение  [latex]2.5*\frac{16}{AO}*sina+8*\frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=[/latex][latex](AO+\frac{16}{AO})*8.5*sina [/latex]  откуда получаем что   [latex](AO^2+192)sina=256cosa\\ AO^2=256ctga-192\\ [/latex]  но  по  условию [latex]S_{ABO}=4S_{BCO}\\ AO*OC=16\\\\ S_{ABO}=\frac{AO*cosa}{2}\\ S_{BOC}=\frac{OC*sina}{2}\\ \frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\\ AO*cosa=4OC*sina\\ \frac{AO}{OC}=4tga\\ \frac{AO}{\frac{16}{AO}}=4tga\\ AO=8\sqrt{tga}\\\\ [/latex]   Уравнение   [latex]256ctga-192=8\sqrt{tga}[/latex]   Откуда решение   [latex]x=\frac{\pi}{4}[/latex]   второй не подходит   Откуда [latex]AO=8 \ \ OC=2\\\\ AC=8+2=10[/latex]