Что общего в синтаксической роли выделенных местоимений: ВСЯКИЙ раз бабушка громко говорила, что я неправ. К ЕЁ словам я не прислушивался. К КАЖДОМУ двору подъезжала машина и ЛЮБОЙ хозяин должен был открывать ворота. НИ С КАКИМ...

все выделенные местоимения в предложении являются определением, кроме всякий раз (обстоятель.)  

Синтаксическая роль всех выделенных местоимений одна и та же, - ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Местоимение ВСЯКИЙ - тоже определение. В словосочетании ВСЯКИЙ РАЗ  определительное местоимение ВСЯКИЙ согласуется с именем существительным РАЗ по роду, числу и падежу и является его определением. Можно сказать ПЕРВЫЙ РАЗ ("Первый раз бабушка спросила меня об этом...."), КАЖДЫЙ РАЗ ("Каждый раз я опаздывал....") - и ПЕРВЫЙ, и КАЖДЫЙ являются определениями к слову РАЗ. Другое дело, что в данной предложении само словосочетание ВСЯКИЙ РАЗ может рассматриваться как сложное обстоятельство (когда говорила бабушка?). Но это уже анализ другого уровня. Будьте внимательны!