Дан правильный шестиугольник. Докажите,  что если последовательно соединить отрезками серидины его сторон,  то получится правильный шестиугольник.  

Правильный шестиугольник — у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Дано: 6-угольник АВСДЕФ Проведем диагонали АД, ВЕ и СФ, т.О-их пересечение. Назовем середины сторон соответственно А1,В1,С1,Д1,Е1,Ф1. Рассмотрим треугольник АВО. Т.к. все углы в правильном 6-угольнике равны 120 градусов, то угол ОАВ=ФАВ/2=120/2=60. Угол АОВ=360/6=60. Угол АВО=180-ОАВ-АОВ=60, значит треугольник АОВ равносторонний, значит ОА=ОВ=АВ. Треугольники АВО и А1В1о подобные, т.к. ОА1=ОВ1=ОА/2=ОВ/2, а угол АОВ общий, значит треугольник А1В1О – тоже равносторонний. Аналогично для остальных пяти сторон. Получается, что новый 6-угольник имеет все углы равные и стороны равные между собой и равные половине сторон первого 6-угольника