Дан правильный тетраэдр, всё рёбра - 4. т. N - середина AC, O - центр основания. P принадлежит SO и SP:PO = 3:1. Доказать, что MP перпендикулярна BS

(Отметим, что в условии опечатка и N=M - середина АС)В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники.  М середина АС, ⇒,SM- медиана и высота треугольника ASC, а ВМ - медиана и высота треугольника АВС. В равных треугольниках высоты равны.  SM=BM=AB•sin60º= (4√3):2 =2√3⇒Треугольник SMB- равнобедренный.  О- центр основания⇒т.О – центр вписанной в правильный треугольник окружности и лежит в точке пересечения биссектрис ( для правильного треугольника они же - медианы и высоты).Тогда МО=МВ:3 ( свойство медианы)=(2√3):3 = 2:√3  По т. Пифагора SO=√(SM² - MO²) = (4√2):√3                               Тогда РО=SO:4= √2:√3                                    Из ∆ МРО по т.Пифагора MP=√(PO² +MO²)=√(2/3+4/3)=√2 sin∠ PMO= PO:MP=  (√2 : √2): √3 = 1/√3                                                           Тогда НВ:МВ=1/√3, откуда НВ=2√3•1/√3=2 НВ - половина SB, поэтому МН - медиана ∆ SMB, а т.к. этот треугольник равнобедренный, то МН - его высота и перпендикулярна SB. Точка Р принадлежит МН, и прямая МР перпендикулярна SB. ч.т.д.