Дан треугольник ABC . Из вершины A проведена медиана AM , а из вершины B — медиана BP . Известно, что угол APB равен углу BMA . Косинус угла ACB равен 0,8 и BP = 1 . Найдите площадь треугольника ABC .

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда: [latex] \frac{AO}{OB} = \frac{PO}{OM} [/latex] Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то: [latex]\frac{ \frac{2}{3} AM}{ \frac{2}{3} BP} = \frac{\frac{1}{3}BP}{\frac{1}{3}AM} \\\ \frac{ AM}{ BP} = \frac{BP}{AM} \\\ AM^2=BP^2 \\\ \Rightarrow AM=BP=1[/latex] Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный. Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим: [latex]AM^2=AC^2+CM^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot\cos ACB \\\ 1^2=(2CM)^2+CM^2-2\cdot 2CM\cdot CM\cdot0.8 \\\ 1=4CM^2+CM^2-3.2CM^2 \\\ 1=1.8CM^2 \\\ CM^2= \frac{1}{1.8} = \frac{5}{9} \\\ CM= \frac{ \sqrt{5} }{3} [/latex] Следовательно стороны в два раза больше: [latex]AC=BC= \frac{2 \sqrt{5} }{3} [/latex] Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними: [latex]S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BC\cdot \sinACB \\\ S= \frac{1}{2} \cdot AC^2\cdot \sqrt{1-\cos ACB} \\\ S= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{2 \sqrt{5} }{3})^2\cdot \sqrt{1-0.8}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\cdot5 }{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{3} [/latex] Ответ: 2/3