Дан треугольник ABC. Окружность, построенная на стороне AB, как на диаметре, пересекает стороны BC и AC в точках D и F. Чему равно отношение площадей треугольников ABC и DFC, если AB=6 и FD=2√2?

Известно свойство секущей: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, проведенной из той же точки. В данном случае имеет значение то, что АС*FC=ВС*CD. Отсюда следует, что FC/CD=AC/BC. Поскольку треугольники АСВ и FCD имеют общий угол С и пропорциональные стороны, то они подобны с коэффициентом подобия АВ/FD = 6/(2√2) =3/√2. Отношение площадей треугольников  АСВ и FCD равно квадрату коэффициента подобия, т.е. S(ACB)/S(FCD) = (3/√2)^2 = 9/2 = 4,5.